Scrivi l'equazione del fascio generato dalle rette $3 x+y-2=0, x+2 y+1=0$ e determina:
a. il simmetrico del centro del fascio rispetto al punto $(-2 ; 3) 😉 A$
b. la retta del fascio passante per $A(2 ;-2)$;
c. la retta del fascio perpendicolare alla retta $x-4 y-1=0$;
d. le rette del fascio che hanno distanza dall'origine uguale a $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Buongiorno. Anche in questo esercizio ho dei dubbi sul punto a,c e d. Ringrazio chiunque risponda.
365
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Livello 2
Posso svolgere solo a) perché ho impegni in casa.
a) Il centro é l'intersezione delle generatrici
3x + y - 2 = 0
x + 2y + 1 = 0
moltiplico la prima per -2 e faccio la somma
- 6x - 2y + 4 = 0
x + 2y + 1 = 0
-------------------------
- 5x + 5 = 0 => x = 1
sostituendo nella II, 1 + 2y +1 = 0
2y = -2
y = -1
C = (1, -1)
Scrivendo le equazioni della simmetria centrale,
xC' = 2xA - xC = -4 - 1 = -5
yC' = 2yA - yC = 6 + 1 = 7
C' = (-5, 7)
c)
Scriviamo l'equazione del fascio come 3x + y - 2 + k(x + 2y + 1) = 0
oppure come (k + 3) x + (2k + 1) y + k - 2 = 0
Essendo m = -A/B per la forma implicita e m1*m2 = -1 per rette perpendicolari
la risolvente di questa parte del problema é
- (k+3)/(2k+1) * (-1)/(-4) = -1
(k+3)/(2k+1) = 4
8k + 4 = k + 3
7k = -1
k = -1/7
(3x + y - 2) -1/7 ( x + 2y + 1) = 0
20x + 5y - 15 = 0
4x + y - 3 = 0
d)
Riprendiamo l'equazione del fascio
(k + 3) x + (2k + 1) y + k - 2 = 0
d^2 = 1/5 significa
(k - 2)^2/[ (k + 3)^2 + (2k + 1)^2 ] = 1/5
5(k - 2)^2 = k^2 + 6k + 9 + 4 k^2 + 4k + 1
5k^2 - 20 k + 20 = 5k^2 + 10k + 10
- 30k = -10
k = 1/3
e quando una equazione di secondo grado ha "A = 0"
una radice é quella di Bx + C e l'altra é oo.
Quindi le due rette sono
k = 1/3
10/3 x + 5/3 y - 5/3 = 0 => 2x + y - 1 = 0
k -> oo
x + 2y + 1 = 0
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Livello 7
