[Risolto] Esercizio sulla parabola

Ogni parabola Γ con asse di simmetria la retta x = 2 (quindi vertice V(2, h) all'ordinata h) ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - 2)^2
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Le condizioni di passaggio impongono i vincoli d'appartenenza
* per A(0, 5): 5 = h + a*(0 - 2)^2
* per B(5, 0): 0 = h + a*(5 - 2)^2
da cui
* (5 = h + a*(0 - 2)^2) & (0 = h + a*(5 - 2)^2) ≡ (a = - 1) & (h = 9)
* Γ ≡ y = 9 - (x - 2)^2 = - (x + 1)*(x - 5) = - x^2 + 4*x + 5
che è proprio il primo risultato atteso.
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L'arco di parabola AB è quello delimitato da Γ e dalla corda
* AB ≡ (y = 5 - x) & (0 < x < 5)
da cui il richiesto punto P(k, 9 - (k - 2)^2), limitato con 0 < k < 5.
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L'area S(OAPB) del quadrilatero di vertici
* O(0, 0), A(0, 5), P(k, 9 - (k - 2)^2), B(5, 0)
si calcola in pochi passi.
Anzitutto trovando l'intersezione K fra la retta y = 5 e il lato
* PB ≡ (y = (k + 1)*(5 - x)) & (0 < k < x < 5)
cioè
* (y = 5) & (y = (k + 1)*(5 - x)) ≡ K(5*k/(k + 1), 5)
Poi scomponendo la figura nel trapezio rettangolo OAKB di area
* S1 = |OA|*(|OB| + |AK|)/2 = 5*(5 + 5*k/(k + 1))/2 = 25*(1 - 1/(2*(k + 1)))
e nel triangolo APK di base AK, altezza la distanza di P da AK e area
* S2 = (5*k/(k + 1))*(|9 - (k - 2)^2 - 5|)/2 = (5/2)*(k/(k + 1))*|(4 - k)*k|
Infine sommando le due aree ottenute
* S(OAPB) = 25*(1 - 1/(2*(k + 1))) + (5/2)*(k/(k + 1))*|(4 - k)*k| =
= (5/2)*(|k - 4|*k^2 + 10*k + 5)/(k + 1)
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Il sistema risolutivo della seconda parte è
* ((5/2)*(|k - 4|*k^2 + 10*k + 5)/(k + 1) = 55/2) & (0 < k < 5) ≡
≡ ((|k - 4|*k^2 + 10*k + 5)/(k + 1) = 11) & (0 < k < 5) ≡
≡ (|k - 4|*k^2 + 10*k + 5 - 11*(k + 1) = 0) & (0 < k < 5) ≡
≡ (|k - 4| = (k + 6)/k^2) & (0 < k < 5) ≡
≡ ((k - 4 = - (k + 6)/k^2) oppure (k - 4 = (k + 6)/k^2)) & (0 < k < 5) ≡
≡ (k - 4 + (k + 6)/k^2 = 0) & (0 < k < x < 5) oppure (k - 4 - (k + 6)/k^2 = 0) & (0 < k < 5) ≡
≡ ((k + 1)*(k - 2)*(k - 3)/k^2 = 0) & (0 < k < 5) oppure ((k^3 - 4*k^2 - k - 6)/k^2 = 0) & (0 < k < 5) ≡
≡ (k = 2) oppure (k = 3) oppure (k = (4 + (163 - 3*√2190)^(1/3) + (163 + 3*√2190)^(1/3))/3 ~= 4.5)
ATTENZIONE
Il secondo risultato atteso E' ERRATO per incompletezza (oppure è errato il mio risultato).

L'asse indicato é parallelo all'asse y per cui l'equazione é della forma

y = ax^2 + bx + c con -b/(2a) = 2 => b = -4a

e inoltre

5 = a*0^2 + b * 0 + c => c = 5

0 = 25a + 5b + c => 25a + 5b = - 5 => 5a + b = -1

5a - 4a = - 1 => a = -1 e b = -4*(-1) = 4

y = - x^2 + 4x + 5

Quindi P = (t, -t^2 + 4t + 5) con t in [0,5].

Devi calcolare S[OAB] + S[OPB]

che é 1/2 OB * OA + 1/2 OB * |yP|

5/2 * (5 + |-t^2 + 4t + 5|) = 55/2

5 + |-t^2 + 4t + 5| = 11

|-t^2 + 4t + 5| = 6

t^2 - 4t - 5 = +- 6

t^2 - 4t - 5 = -6

t^2 - 4t + 1 = 0

t = 2 +- rad(4 - 1) = 2 +- rad(3)

oppure

t^2 - 4t - 5 = 6

t^2 - 4t - 11 = 0

t = 2 +- rad(4+11) = 2 + rad(15) non va bene perché supera 5

Le ordinate si ricavano sostituendo t = 2+-rad(3) nell'equazione della parabola.