[Risolto] Esercizio sulla circonferenza. 3º liceo

@luca_mene05

Ciao e benvenuto. Una osservazione:

Di semicirconferenze che non contengono l’origine c’è ne sono infinite! Che testo ambiguo!

Comunque credo di poter interpretare.....

{- 3·x + 2·y - 13 = 0

{- 3·x + 2·y - 13 = 0

risolvo ed ottengo: [x = -1 ∧ y = 5]      T(-1,5)

Risolvo la retta data:

y = 3·x/2 + 13/2------> m = 3/2 e q = 13/2

Scrivo retta perpendicolare per T:  (m = - 2/3)

y - 5 = - 2/3·(x + 1)-------> y = 13/3 - 2·x/3

Il centro C sta su questa retta.

Un suo qualsiasi punto è dato dalle coordinate:[x, 13/3 - 2·x/3]

Impongo l'equidistanza da T[-1, 5] e da O(0,0):

√((x + 1)^2 + (13/3 - 2·x/3 - 5)^2) = √(x^2 + (13/3 - 2·x/3)^2)

Se risolvi ottieni    x = 2

quindi     y = 13/3 - 2·2/3-----> y = 3

Quindi sapendo che passa per l'origine: x^2 + y^2 - 4·x - 6·y = 0

Adesso la mia interpretazione: risolvo la circonferenza ottenuta e mi trovo con due semicirconferenze:

y = 3 - √(- x^2 + 4·x + 9) ∨ y = √(- x^2 + 4·x + 9) + 3

Quella che non contiene l'origine è la seconda (è una funzione!)

Quindi un suo punto è P

Scrivo nell'ordine:

[0, 0]

[4, 0]

[x, √(- x^2 + 4·x + 9) + 3]

[0, 6]

[0, 0]

AREA OAPB=1/2·ABS(0·0 + 4·(√(- x^2 + 4·x + 9) + 3) + x·6 + 0·0+

- (0·6 + 0·(√(- x^2 + 4·x + 9) + 3) + x·0 + 4·0)) = 17

(metodo allacciamento scarpe)

1/2·ABS(4·√(- x^2 + 4·x + 9) + 6·x + 12) = 17

x = 17/13-------> y = √(- (17/13)^2 + 4·(17/13) + 9) + 3 = 85/13

P(17/13,85/13)

I calcoli sono lunghi ed insidiosi. Li lascio a te, così é relativamente sicuro che non li sbagli. 

Poiché la circonferenza passa per O allora c = 0 e la cerchi come x^2 + y^2 + ax + by = 0

Imponi il passaggio per T = (-1;yT) con yT ricavata dall'equazione della retta assegnata. 

Poi l'altra relazione la scrivi imponendo che la retta assegnata sia perpendicolare a CT con 

C centro della circonferenza. Verificato che C é il punto medio di AB, il passaggio successivo

é calcolare l'area di AOB e sottrarla da 17. Hai quindi l'area di ABP che é un triangolo rettangolo

Da questa calcoli l'altezza relativa alla base il cui piede é H. Siccome la mediana é metà di AB, 

con il Teorema di Pitagora puoi trovare CH e sottrarlo dal raggio AC. Noto AH, 

puoi trovare le coordinate di H nel modo seguente : usi la formula della distanza tra 

due punti su una retta al contrario 

|xH - xA| sqrt ( 1+ mAB^2) = AH 

da qui xH e yH la trovi dall'equazione di AB. Poi scrivi la perpendicolare ad AB condotta 

per H e intersecandola con la circonferenza trovi uno dei possibili punti P. L'altro 

si ottiene prendendo il simmetrico H' di H rispetto a C e ripetendo il ragionamento.

Buon lavoro.

I risultati 

l'equazione della circonferenza é x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0

L'area di APB é 5 

La retta HP ha equazione y = 2/3 x + 17/3

il punto P é (17/13; 85/13).

Per capire "come riuscire a impostare" dovresti leggere la "VERSIONE TESTUALE" di quest'articolo
http://www.scuolavalore.indire.it/nuove_risorse/dai-problemi-alle-equazioni/
che fa parte della raccolta PQM
http://www.scuolavalore.indire.it/guide/pqm-matematica/
di articoli destinati agli scolari delle medie, ma che possono essere utili anche agli alunni delle superiori sugli argomenti dove si sentano debolucci.
==============================
ESERCIZIO SULLA CIRCONFERENZA
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
------------------------------
Regolamento, Art. 3.1
Il carattere "γ gamma minuscolo" è una lettera greca usata come nome di angoli o piani, più raramente di curve; invece "y ypsilon minuscolo" è una lettera dell'alfabeto latino usata come nome di variabili reali.
Per evitare malintesi io la circonferenza la nomino con "Γ gamma maiuscolo".
"i punti dell'Insezione" sono "i punti d'inTERsezione"? io decido di sì.
------------------------------
LETTURA DEL TESTO e cosa ci se ne fa ai fini del problema.
---------------
"Scrivi l'equazione della circonferenza Γ passante per l'origine O e tangente alla retta con equazione -3x + 2y- 13 = 0 nel suo punto dell'ascissa - 1."
Sulla retta
* t ≡ - 3*x + 2*y- 13 = 0 ≡ y = (3*x + 13)/2
si trova, all'ascissa - 1, il punto di tangenza T(- 1, 5).
Il centro C di Γ, equidistante da O e T, sta sulla perpendicolare a t per T
* y = (13 - 2*x)/3
quindi con coordinate C(k, (13 - 2*k)/3).
L'equidistanza espressa da
* k^2 + (13 - 2*k)^2/9 = 13*(k + 1)^2/9 = q ≡
≡ (k = 2) & (q = 13)
completa la risoluzione con
* C(2, (13 - 2*2)/3) = (2, 3)
e consente di scrivere l'equazione richiesta
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13
---------------
"Detti A e B i punti d'intersezione di Γ con gli assi cartesiani"
* ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13) & (x*y = 0) ≡
≡ A(0, 6), O(0, 0), B(4, 0)
---------------
"determina un punto P sulla semicirconferenza che non contiene l'origine"
SEMICIRCONFERENZA? e rispetto a quale diametro? e l'Art. 3.1 ce lo beviamo?
Vediamo un po' come rimediare alle stupidaggini dell'autore.
La congiungente
* AB ≡ x/4 + y/6 = 1
passa per C(2, 3)? 2/4 + 3/6 = 1? Sì, quindi AB è diametro.
La semicirconferenza cui si allude così timidamente da non volerla individuare dovrebb'essere
* Γ/2 ≡ (y = 3 + √(- (x^2 - 4*x - 9))) & (y > - (3/2)*(x - 4))
e il punto P
* P(k, 3 + √(- (k^2 - 4*k - 9))) & (0 < k <= 2 + √13)
---------------
"in modo che l'area del quadrilatero OAPB sia uguale a 17"
L'area S(OAPB) del quadrilatero OAPB è la somma di quelle
* del triangolo OAB (S(OAB) = |OA|*|OB|/2 = 6*4/2 = 12)
* del triangolo di base AB (|AB| = √(6^2 + 4^2) = 2*√13) e altezza h.
Quindi
* S(OAPB) = S(OAB) + S(APB) = 12 + (2*√13)*h/2 = 12 + (√13)*h = 17 ≡
≡ h = 5/√13 ~= 1.4
--------
Tutti e soli i punti (x, y) a distanza h dalla retta
* AB ≡ x/4 + y/6 = 1 ≡ y = 6 - (3/2)*x
sono sulla coppia di parallele di cui AB è la centrale
* |((- 3/2)*x + 6 - y)|/√((- 3/2)^2 + 1) = 5/√13 ≡
≡ (3*x + 2*y - 17)*(3*x + 2*y - 7) = 0
con l'unico punto su Γ/2
* P(17/13, 85/13)