[Risolto] Esercizio sul principio di induzione

parti dalla prima:

$2+2^2+2^3+2^4+...+2^n=2(2^n-1)$

Si procede così:

per $n=1$ è vera? Risposta si, perchè $2=2*(2^1-1)=2*(2-1)=2$

Allora la si suppone vera per un generico $n$, va dimostrata per $n+1$

Quindi sappiano che per un certo $n$, è vero che

$2+2^2+2^3+2^4+...+2^n=2(2^n-1)$

dobbiamo dismostrare

$2+2^2+2^3+2^4+...+2^n+2^{n+1}=2(2^{n+1}-1)$

Lavoriamo sulla parte "a sinistra" dell'uguale; usando l'uguaglianza che sappiamo vera per $n$:

$2+2^2+2^3+2^4+...+2^n+2^{n+1}=2(2^n-1)+2^{n+1}$

ma quindi, mettendo in evidenza un $2$:

$2(2^n-1)+2^{n+1}=2(2^n-1+2^n)$

e dato che $2^n+2^n=2*2^n=2^{n+1}$

si conlcude che la parte sinistra dell'uguale è pari a:

$2(2^n-1)+2^{n+1}=2(2^n-1+2^n)=2(2^{n+1}-1)$

e quindi confrontandolo con la parte destra si vede che l'espressione è identica e pertanto è dimostrata.

cvd.

Il procedimento per induzione funziona sempre così: si prova per $n=1$, lo si suppone valido per $n$ e sapendo questo va dimostrata la validità per $n+1$

la 99 si fa esattamente nel solito modo. dobbiamo dimostrare che 

$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{n+3}{2^{n+1}}$

quindi, usando il fatto che 

$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^{n}}$

si scrive:

$2-\frac{n+2}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{n+3}{2^{n+1}}$

Si semplifica il 2 e resta:

$-\frac{n+2}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=-\frac{n+3}{2^{n+1}}$

lavorando sulla parte sinistra:

$\frac{-2(n+2)+n+1}{2^{n+1}}=\frac{-n-3}{2^{n+1}}=-\frac{n+3}{2^{n+1}}$

come si vede è uguale alla parte destra, quindi dimostrato.

Dimostrare per induzione che
99) Σ [k = 1, n] k/2^k = 2 - (n + 2)/2^n
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A) Passo preliminare
* (a(0) = 0) & (a(k + 1) = a(k)/2 + 1/2^(k + 1)) ≡ a(k) = k/2^k
* Σ [k = 1, n] k/2^k = Σ [k = 0, n] a(k) = 2 - (n + 2)/2^n
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B) PASSO BASE (per n = 0)
* Σ [k = 0, 0] a(k) = 2 - (0 + 2)/2^0 = 2 - 2 = 0 ≡ VERO
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C) PASSO INDUTTIVO (per n > 0)
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C1) Ipotesi induttiva
* Σ [k = 1, n] k/2^k = 2 - (n + 2)/2^n ≡ VERO
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C2) Dimostrazione
Sostituendo (n + 1) ad n nei due membri si deve ottenere un'identità.
Nel primo membro si applica l'ipotesi induttiva.
* Σ [k = 1, n + 1] k/2^k = 2 - (n + 1 + 2)/2^(n + 1) ≡
≡ Σ [k = 1, n] k/2^k + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) ≡
≡ 2 - (n + 2)/2^n + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) ≡
≡ 2 - 2*(n + 2)/2^(n + 1) + (n + 1)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) ≡
≡ 2 - (2*(n + 2) - (n + 1))/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) ≡
≡ 2 - (n + 3)/2^(n + 1) = 2 - (n + 3)/2^(n + 1) ≡
≡ VERO
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