[Risolto] Esercizio sul l’iperbole

@gf

Ciao e ciao a tutti gli amici.

Una iperbole può essere delle due forme:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 nel qual caso ha vertici e fuochi  sull'asse delle x

oppure

x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 nel qual caso ha vertici e fuochi sull'asse delle y

Quindi, per essere iperbole, si deve avere:

(2·k - 1)·(k^2 - 4) < 0

ossia :

1°F 

--------------(1/2)++++++++++>k

2° F

+++(-2)--------------(+2)++++++>k

Segno prodotto:

-----(-2)+++(1/2)---(+2)++++++>k

quindi: k < -2 ∨ 1/2 < k < 2 per questi valori si ha una iperbole.

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Se i fuochi stanno sull'asse delle x deve essere:

a^2>b^2

quindi due condizioni a sistema.

{k < -2 ∨ 1/2 < k < 2 (determinata sopra)

{2·k - 1 > k^2 - 4

Se risolviamo la seconda abbiamo:

{k < -2 ∨ 1/2 < k < 2

{-1 < k < 3

quindi la soluzione fornisce:

1/2 < k < 2

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Se l'iperbole passa per il punto  (0, - √5)

0^2/(2·k - 1) + (- √5)^2/(k^2 - 4) = 1------> 5/(k^2 - 4) = 1  con k^2 - 4 ≠ 0

quindi:  k ≠ -2 ∧ k ≠ 2 si ha:

5 = k^2 - 4--------> k = -3 ∨ k = 3 quindi deve essere k = -3 per poter essere anche una iperbole!

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Ora smetto: l'ultimo quesito rispondo dopo.

Riprendo: c^2 = a^2 + b^2

Quindi 2·k - 1+(4-k^2)= 2^2--------> k = 1

Tenendo  presente che k^2-4 è al denominatore di -x^2/b^2

Per k=1

x^2/(2·1 - 1) + y^2/(1^2 - 4) = 1------>x^2 - y^2/3 = 1

controlla su properties al link:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2-y%5E2%2F3%3D1

RIPASSO
Ogni conica Γ, a centro e non degenere (circonferenza, ellisse, iperbole), centrata nell'origine e con assi di simmetria giacenti su quelli coordinati ha equazione della forma
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
dove i semiassi (a, b), se eguali, danno la circonferenza o l'iperbole equilatera.
La configurazione dei doppi segni dà il tipo di curva.
* (-, -): iperbole coi fuochi sull'asse y
* (-, +): iperbole coi fuochi sull'asse x
* (+, -): ellisse immaginaria
* (+, +): ellisse reale
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ESERCIZIO 71
Tutt'e quattro i quesiti sull'equazione parametrica
* Γ(k) ≡ x^2/(2*k - 1) + y^2/(k^2 - 4) = 1
chiedono che essa rappresenti un'iperbole, perciò la risposta al quesito "a" è propedeutica alle altre tre e ne delimita la significatività.
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Nessuno dei due denominatori (a^2, b^2) deve annullarsi
* k non in {- 2, 1/2, 2}.
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Per rappresentare un'iperbole (a^2, b^2) devono essere discordi
* (2*k - 1)*(k^2 - 4) < 0 ≡
≡ (k < - 2) oppure (1/2 < k < 2)
e in particolare
* (2*k - 1 < 0) & (k^2 - 4 > 0) ≡ k < - 2 ≡ fuochi su y
* (2*k - 1 > 0) & (k^2 - 4 < 0) ≡ 1/2 < k < 2 ≡ fuochi su x
---------------
Per rispondere al quesito "c" basta sostituire (0, - √5) per (x, y), risolvere in k e verificare che la radice sia significativa
* 0^2/(2*k - 1) + (- √5)^2/(k^2 - 4) = 1 ≡ k = ± 3
* ((k = - 3) oppure (k = 3)) & ((k < - 2) oppure (1/2 < k < 2)) ≡
≡ k = - 3
da cui
* Γ(- 3) ≡ x^2/(2*(- 3) - 1) + y^2/((- 3)^2 - 4) = 1 ≡
≡ x^2/(- 7) + y^2/5 = 1 ≡
≡ x^2/7 - y^2/5 = - 1 ≡
≡ (x/√7)^2 - (y/√5)^2 = - 1
---------------
Per rispondere al quesito "d" serve un ulteriore
RIPASSINO
I semiassi (a, b) e la semidistanza focale "c" sono lati di un triangolo rettangolo con ipotenusa "c".
QUINDI
per avere F(2, 0), sull'asse x, si risolve in k il Teorema di Pitagora
* a^2 + b^2 = c^2 ≡
≡ 2*k - 1 + k^2 - 4 = 2^2 ≡
≡ k^2 + 2*k - 9 = 0 ≡
≡ (k1 = - 1 - √10 ~= - 4.2) oppure (k2 = - 1 + √10 ~= + 2.2)
di cui è significativa solo la k1.
NOTA
L'evidente discrepanza col risultato atteso si spiega con una banale svista di calcolo: se l'ha commessa l'autore dell'esercizio c'è poco da fare; se invece l'ho commesso io, abbi fede!
Qui ci sono altri responsori abbastanza gentili da segnalarcelo (e questo è un appello alla pazienza e al colpo d'occhio di @LucianoP @mg @nik @Remanzini_Rinaldo ...).

Postato da: @exprof

≡ 2*k - 1 + k^2 - 4 = 2^2 ≡

@exprof  ciao.

Credo che la discrepanza con il risultato sia dovuta a questo passaggio...

essendo $k^2-4<0$

allora deve essere:

$2k - 1 -( k^2 - 4) = 2^2$

nel rispetto di:

$c^2=a^2+b^2$

Concordi ?