Esercizio sui logaritmi

$ f(x) = \frac{2ln x}{1+ln x} $

a.   

• Dominio.
  • • • ln(x) ⇒ x > 0
      • /(1+ln(x)) ⇒ ln(x) ≠ -1 ⇒ x ≠ e⁻¹ ⇒ x ≠ 1/e

Dominio = (0, 1/e) U (1/e, +∞)

• Zeri.
  • • • f(x) = 0  ⇒  2ln(x) = 0  ⇒ x = 1
• Segno.

0_____1/e________1_________

-----------------------0+++++++   2ln(x)

---------X+++++++++++++++   (1+ln(x))

++++X---------------0+++++++   f(x)

• • • • f(x) > 0 per x ∈(0, 1/e) V x ∈(1, +∞)
      • f(x) = 0 per x = 1
      • f(x) < 0 per x ∈(1/e, 1)

b.

$ f(x) \ge 1  \; ⇒ \; \frac{2ln x}{1+ln x} \ge 1 $   Si prospettano due casi

1. Se 1+ln(x) < 0 allora $ 2ln x \le 1+ln x \; ⇒ \; 0 \lt x \lt \frac{1}{e} $
2. Se 1+ln(x) > 0 allora $ 2ln x \ge 1+ln x \; ⇒ \;  x \gt e $ 

c.  

Si dimostra che la funzione f(x) è una funzione bigettiva, quindi ammette inversa. 

Per il calcolo dell'inversa seguiremo il metodo dei 3 passi

1. Riscriviamola nella forma. y = 2ln(x) /(1+ln(x))
2. Scambiamo tra loro le variabili. x = 2ln(y) /(1+ln(y))
3. Ricaviamo la y(x). 

$x + xln y = 2ln y$ 

$(2-x)ln y = x $

$ ln y = \frac{x}{2-x}$

applichiamo ad ambo i membri l'esponenziale

$ e^{ln y} = e^\frac{x}{2-x}$    

applichiamo l'identità logaritmica

$ y = e^\frac{x}{2-x}$

questa è la funzione inversa che può essere scritta come

$ f^{-1}(x) = e^\frac{x}{2-x}$