[Risolto] esercizio sui limiti

ti faccio 2 sostituzioni successive, anche se si poteva fare tutto in un colpo solo:

per prima cosa prendi $-\frac{1}{x}=y$

adesso hai il limite per $y$ che tende all'infinito di $(1+\frac{2}{3y})^y$

adesso chiami $\frac{3y}{2}=z$ e ottieni il limite per

$z$ che tende all'infinito di $(1+\frac{1}{z})^{\frac{2z}{3}}$ ovvero il limite per 

$z$ che tende all'infinito di $((1+\frac{1}{z})^z)^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}$

Il limite assegnato vale :

LIM((1 - 2/3·x)^(- 1/x)) = e^(2/3)

x--->0

Sfrutti il limite notevole:

LIM((1 + 1/t)^t)= e

t-->∞

poni quindi:

- 2/3·x = 1/t

per cui:

per x-->0 : t-->∞

Fai i passaggi:

x = - 3/(2·t)

quindi:

- 1/x = 2/3·t

Quindi devi risolvere il limite in t:

LIM((1 + 1/t)^(2/3·t)) = e^(2/3)

t-->∞

(vedi parte finale di @sebastiano)