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[Risolto] esercizio su un integrale curvilineo di una forma differenziale

  

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Data la forma differenziale w=(x+xy)dx+(y+xy)dy, calcolare l'integrale esteso a I di w, dove I è la frontiera dell'insieme racchiuso tra le due circonferenze di raggio 1 e centro (0, 1) e (1, 0), rispettivamente, ed è percorsa in senso antiorario. 

Il disegno è questo qui

image

Ho dei dubbi sulla parametrizzazione, il modo più semplice penso che sia passare a coordinate polari. Nel caso di I1 pongo x=cos(t) e y=1+sin(t) e per I2 in modo analogo x=1+cos(t) e y=sin(t). Però non riesco a capire dove varia t, se nel caso di I1 t varia tra 0 e π/4 e in I2 t varia tra π/4 e π/2. Qualcuno mi saprebbe aiutare? Non mi servono i conti svolti, vorrei capire solo questa piccola cosa, grazie.

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t dovrebbe variare da -pi/2 a 0 su I1

(quarto quadrante) e da pi/2 a pi su I2

(secondo quadrante)

infatti I1 va da (0,0) a (1,1)

e I2 va (1,1) a (0,0)

@eidosm perchè in I1t varia da -π/2 e 0 e in I2 da π/2 a π? Come determini questi estremi in base ai punti (0, 0) e (1, 1)?

A dire il vero ho guardato i quadranti coinvolti. Gli estremi li ho solo verificati.

@eidosm dimmi se ho capito il tuo ragionamento. Considero il segmento di estremi (0, 0) e (1, 1). Suppongo di traslare le due circonferenze in modo che i due centri coincidano con l'origine. In questo caso anche il segmento verrà traslato. Se traslo la circonferenza di centro (0, 1), il segmento verrà anch'esso traslato e avrà come estremi (0, -1) e (1, 0), quindi si trova nel quarto quadrante e l'angolo t varia da - π/2 a 0. Analogamente considerata la circonferenza di centro (1, 0), se essa viene traslata in modo che il centro coincida con l'origine, il segmento di estremi (0, 0) e (1, 1) viene traslato negli estremi (-1, 0) e (0, 1), quindi nel secondo quadrante e pertanto t varia tra π/2 e π. È questo che intendi?

Sì,é questo. Anche se a pensarlo é istantaneo mentre a spiegarlo ci vuole qualche riga.



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SOS Matematica

4.6
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