[Risolto] Esercizio su teorema di esistenza degli zeri

Il teorema di esistenza degli zeri afferma: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato

se assume due valori opposti in due punti dell'intervallo

allora esiste almeno uno zero nell'intervallo che ha per estremi idue punti.

La funzione y= ln(x-k)-1 è continua quando

x-k>0.

Quindi nell'intervallo A=[0;e] il dominio vale

A se k<0

(k;0] se   0<=k<e

Non esiste se k>=e.

Per poter applicare il teorema, cioè affermare che esista uno zero dobbiamo determinare due valori nei quali la funzione assume segni opposti nel dominio, quindi osservando che la funzione è monotona crescente e che uno zero è facilmente individuabile.

Infatti

Ln(x-k)-1=0

Ln(x-k)=1

x-k=e

x=k+e è uno zero nel dominio se esso appartiene al dominio.

Se k>0 è palese che k +e non è in [0;e]

Se k=0 allora ho uno zero in x=e ma non posso applicare il teorema di esistenza degli zeri

Se k<0  il dominio è [0;e] ma per garantire che lo zero sia interno a questo intervallo, cioè

0<k+e<e

-e<k<0 allora per la monotonia

esiste un valore x compreso tra 0 e k+e nel quale la funzione assume un valore negativo

ed

Esiste un valore di x compreso tra k+e ed e nel quale la funzione assume valore positivo

e quindi in questo intervallo posso applicare il teorema.

Nel caso in cui k=-e abbiamo uno zero in x=0 anche se non posso applicare il teorema.

Conclusione:

Il teorema è applicabile se e solo se k si trova in (-e;0).