Devo ammettere che questo esercizio è stato un po' più rognosetto. Credo però che così funziona.
Do per assodato che S sia spazio vettoriale normato, manca solo dimostrare che è anche completo. Per farlo dobbiamo vedere se ogni successione di Cauchy è convergente.
Bada che uso l'apice in parentesi per le successioni in S, mentre il pedice per le successioni che costituiscono gli elementi di S per cui l'elemento della successione $a^{(m)}$ è a sua volta una successione del tipo:
$ a^{(m)}:= (a_n)^{(m)}$
Sia dunque $a^{(m)}$ una successione di Cauchy in S. Ciò vuol dire che $\forall \varepsilon >0$, $\exists m_0>0$ tc $\forall r,s >m_0$ si ha che:
$ \left\|a^{(r)} -a^{(s)} \right\|_S<\varepsilon$
e cioé:
$sup_n |\sum_{k=0}^n(a_k^{(r)}-a_k^{(s)})|<\varepsilon $
Per la linearità della somma:
$sup_n |\sum_{k=0}^na_k^{(r)}-\sum_{k=0}^na_k^{(s)}|<\varepsilon$
e dette $S_n$ le somme parziali possiamo scrivere che:
$sup_n |S_n^{(r)}-S_n^{(s)}|<\varepsilon$
Ma se questa disuguaglianza vale per il sup, allora vale $\forall n$ e dunque possiamo dire che
$|S_n^{(r)}-S_n^{(s)}|<\varepsilon$ $\forall n\in N$
Ora $S_n^{(r)}$ e $S_n^{(s)}$ sono le somme parziali quindi sono valori in $R$. Quello che abbiamo appena scritto è quindi che $S_n^{(m)}$ è una successione di Cauchy in R, che è uno spazio completo e pertanto la successione è convergente.
Sia dunque:
$lim_m S_n^{(m)}=:\overline{S_n}$ $\forall n \in N$
Per la definizione di limite, questo vuol dire che $\forall \varepsilon>$ $\exists m_0>0$ tale che $\forall m>m_0$ si ha che:
$|S_n^{(m)}-\overline{S_n}| <\varepsilon$ $\forall n \in N$
E cioé:
$|\sum_{k=0}^n a_k^{(m)}-\overline{S_n}|<\varepsilon$ $\forall n \in N$
Ora notiamo che, dato che la precedente vale $\forall n$, dev'essere:
$\sum_{k=0}^n a_k^{(m)}= \overline{S_n}$, $\forall n \in N$
e se facciamo tendere $n\rightarrow +\infty$, sapendo che la serie è convergente abbiamo che:
$\sum_{n} a_n^{(m)}= lim_{n} \overline{S_n} = \overline{S} < +\infty$
Ora sia $\overline{a}_n$ una successione che abbia somma $\overline{S_n}$, cioé tale che:
$ \sum_{k=0}^n \overline{a}_k =: \overline{S_n}$
Ritorniamo a questa disuguaglianza:
$|\sum_{k=0}^n a_k^{(m)}-\overline{S_n}|<\varepsilon$ $\forall n \in N$
e andiamo a riscrivere come:
$|\sum_{k=0}^n a_k^{(m)}-\sum_{k=0}^n \overline{a_k}|<\varepsilon$ $\forall n \in N$
Dato che vale sempre $\forall n$ possiamo passare al sup:
$sup_n |\sum_{k=0}^n (a_k^{(m)}- \overline{a_k})|<\varepsilon$
ma questo equivale allora a dire che:
$\left\| a^{(m)}-\overline{a} \right\|_S<\varepsilon$
e dunque $a^{(m)}$ (che era la nostra serie di Cauchy) converge a $\overline{a}$ che per come l'abbiamo definita è una serie convergente.
Dunque S è spazio normato completo e cioè è di Banach.
Noemi
