Dati i seguenti sottospazi dello spazio vettoriale $\mathbb{R}[x]$ :
$$
U_1=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]: p(1)=0\}, \quad U_2=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]: p(2)=0\} .
$$
(a) Stabilire se $U_1+U_2=\mathbb{R}[x]$.
(b) Stabilire se la somma $U_1+U_2$ è diretta.
Ciao a tutti,vorrei un parere su questo esercizio.
Per quanto riguarda il secondo punto non ho problemi,è chiaro che l'intersezione di U1 e U2 non è uguale al solo vettore nullo. Ad esempio p(x)=(x-1)(x-2) appartiene all'intersezione
U1+U2 non è una somma diretta.
Per quanto riguarda il primo punto ho dei dubbi in quanto non ho mai fatto esercizi di questo tipo con spazi non finitamente generati. Ho ragionato in questo modo: U1+U2 è un sottospazio non finitamente generato perchè somma di due sottospazi non finitamente generati.
Le basi di U1 e U2 sono infinite con cardinalità del numerabile.
Unendo queste due basi si ottiene sicuramente un sist. di gen. per U1+U2 e poichè le basi di U1 e U2 hanno entrambi cardinalità del numerabile,anche tale sist. di gen. ha cardinalità del numerabile.
Ogni sist. di gen. contiene una base e dunque una base di U1+U2 ha cardinalità del numerabile.
Concludo che U1+U2 incluso in R[X] e dim(U1+U2)=dimR[x]=aleph 0. Pertanto U1+U2=R[x].
Fatemi sapere se secondo voi va bene
