a. Scrivi l'equazione della retta $r$ passante per i punti $A(4 ; 0)$ e $B(0 ; 6)$ e l'equazione della retta $s$, parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, passante per $C(-1 ; 0)$. b. Nel fascio di rette generato da $r$ e $s$ determina la retta di coefficiente angolare $-\frac{7}{8}$ e trova su di essa il punto $D$ di ordinata $-4$. Calcola l'area del quadrilatero $A B C D$. c. Verifica che il triangolo $A B D$ è isoscele e determina il circocentro $E$.
Buongiorno, ho svolto il punto a dell’esercizio ma non riesco a fare il punto b e c.
Preso per fatto il punto A, si osserva che le rette r, s hanno diverso coefficiente angolare. Quindi il fascio generato dalle due rette è un fascio proprio (con centro). Possiamo determinare il centro del fascio mettendo a sistema l'equazione delle due rette. Quindi:
{2y+3x-12 = 0
{x-y+1=0
Da cui si ricava il centro: F(2,3)
La retta del fascio con coefficiente angolare - 7/8 è quindi:
y-3 = - (7/8)*(x-2)
7x+8y-38=0
Il punto D di ordinata y= - 4 ha ascissa:
7x - 32 - 38 = 0
7x=70
x=10
Quindi: D= (10, - 4)
Determino l'area del quadrilatero ABCD come somma delle aree dei triangoli ABC e ACD. I due triangoli hanno la stessa base, il segmento AC e altezza rispettivamente |yB|=6 e |yD|=4
Quindi:
AC =|xA - xC| = 5
Area _ ABCD = (5*6)/2 + (5*4)/2 = 15+10 = 25
Il triangolo ABD è isoscele sulla base BD. I lati obliqui AB=AD=2*radice (13)
Resta da calcolare il circocentro del triangolo, punto di incontro degli assi. Essendo il triangolo isoscele, l'altezza relativa alla base BD è anche mediana, bisettrice ed asse. Quindi il circocentro è sulla retta perpendicolare ad BD e passante per il vertice A.
Il coefficiente angolare della retta BD è :
[(yB-yD) / (xB-xD)] = - 1
Quindi l'asse del segmento BD, base del triangolo isoscele, ha coefficiente angolare 1.
Passando per il punto A(4,0), l'asse di BD ha equazione:
Asse_BD: y= x-4
Il circocentro Z è un punto dell'asse e avrà coordinate:
Z= (X0, x0-4)
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta. Quindi la distanza di Z da A e B risulta essere uguale e congruente con il raggio. Imponendo la condizione che il segmento ZA=ZB si ottiene:
