[Risolto] Esercizio su quadrato e equazione sua diagonale

Mi scuso se intervengo due e passa ore dopo gli altri perché m'ha tenuto occupato l'impegno di mondare e spezzettare i pomodori per l'insalata di riso (16 pezzetti/frutto) e i peperoni per la peperonata (~40 pezzetti/frutto); per garentire che nessun pezzetto abbia nemmeno un seme ci vuole tempo (non credere agli spot TV sui morsi alle mele e sulle protesi che si fissano per 12 ore: le protesi sono fatte per masticare, mica per mordere! E masticando ballano comunque; l'adesivo aiuta a parlare, non a masticare. E ballando consentono ai semi minuscoli di insinuarsi, così che alla successiva masticata si fa una bella piaghetta sulla gengiva e su cui non si forma alcuna pellicola protettiva con la goccia magica. Perciò, se voglio evitare di restare due o tre giorni sdentato e a dieta fluida, la mondatura degli ortaggi tocca a me!).
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Il fatto che ABCD debba essere un quadrato di lato L e diagonale d = L*√2 ha alcune implicazioni che costituiscono l'impostazione della procedura risolutiva.
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1) Ha centro di simmetria K all'intersezione fra le diagonali ortogonali.
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2) E' circoscrivibile: l'inraggio è r = L/2, distanza da centro a lato.
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3) E' inscrivibile; il circumraggio è R = d/2 = L/√2, distanza da vertice a diagonale, quindi col piede nel centro.
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RISOLUZIONE
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A) Dati il vertice A(- 1, 6) la la retta della diagonale BD
* BD ≡ s ≡ x + 7*y - 16 = 0 ≡ y = (16 - x)/7
di pendenza m = - 1/7, da essi si calcola il circumraggio
* R = d/2 = L/√2 = |As| = 5/√2 ≡ L = 5 ≡ d = 5*√2
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B) La normale ad s per A (la diagonale AC), di pendenza m' = - 1/m = 7, interseca s in K
* AC ≡ s' ≡ y = 7*x + 13
* s & s' ≡ (y = (16 - x)/7) & (y = 7*x + 13) ≡ K(- 3/2, 5/2)
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C1) Il circumcerchio di centro K e raggio R è
* Γc ≡ (x + 3/2)^2 + (y - 5/2)^2 = (5/√2)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 + 3*x - 5*y - 4 = 0
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C2) L'iperbole equilatera degenere costituita dalle rette delle diagonali è
* Γ ≡ (x + 7*y - 16)*(7*x + 13 - y) = 0 ≡
≡ 7*x^2 + 48*x*y - 7*y^2 - 99*x + 107*y - 208 = 0
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D) I vertici A, B, C, D sono le intersezioni fra le due coniche (C1 & C2) dovendo appartenere, per definizione, sia alle diagonali che al circumcerchio.
* C1 & C2 ≡
≡ (x^2 + y^2 + 3*x - 5*y - 4 = 0) & (7*x^2 + 48*x*y - 7*y^2 - 99*x + 107*y - 208 = 0) ≡
≡ A(- 1, 6) oppure B(- 5, 3) oppure C(- 2, - 1) oppure D(2, 2)

@Beppe 

Una seconda possible soluzione è:

Sostituendo XB, XD nelle coordinate del generico punto appartenente alla diagonale DB si ricavano le rispettive ordinate

YB= (16 - 2)/7 = 2, YD=(16 + 5)/7 = 3

Quindi B=(2, 2) e D=( - 5, 3)

Ciao @beppe

Intanto il disegno:

Determino la distanza del punto A(-1,6) dalla retta data

x + 7·y - 16 = 0

d = ABS(-1 + 7·6 - 16)/√(1^2 + 7^2)-------> d = 5·√2/2

Il lato del quadrato è pari a:  r = √2·d

r = √2·(5·√2/2)------> r = 5

Quindi determino la circonferenza di centro A e raggio pari a 5.

(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 5^2------> x^2 + y^2 + 2·x - 12·y + 12 = 0

la metto a sistema con la retta data:

{x^2 + y^2 + 2·x - 12·y + 12 = 0

{x + 7·y - 16 = 0

Determino quindi i punti sulla diagonale BD:

[x = 2 ∧ y = 2, x = -5 ∧ y = 3]------> B(-5,3) e D(2,2)

Poi il resto lo sai fare, vero?

Sto andando al mare . Ciao. Buona giornata.