Scrivi l'equazione della parabola tangente all'asse delle ascisse nel punto A(4;0) e passante per il punto B(0; 4). Calcola poi l'equazione della retta t tangente alla parabola nel punto B e l'area del triangolo formato da t con gli assi cartesiani.
Buongiorno, non riesco a fate il seguente esercizio. Ho imposto che la parabola passa per il punto A e il punto B ma poi mi servirebbe una terza condizione.. grazie mille
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Livello 2
@alessandra_12 sai che la parabola è tangente all'asse delle ascisse. Questo significa che l'ordinata del vertice è 0, cioè -Δ/4a=0
Il primo risultato atteso non è coerente al testo perché calcolato introducendo l'ipotesi aggiuntiva che la parabola abbia asse di simmetria parallelo all'asse y: ipotesi assente dal testo e che, essendo semplificatrice, provocherebbe l'immediata bocciatura in qualsiasi esame.
Tuttavia, secondo l'aurea massima «'ttàcca lu ciùcciu 'nduòle lu patrùnu!», non considero l'equazione
* Γq(ualsiasi) ≡ (u*x + v*y)^2 + r*x + s*y + t = 0
della semplice "parabola" richiesta dal testo bensì quella dell'ipotesi semplificatrice
* Γs(emplificata) ≡ y = h + a*(x - w)^2
che ha tre soli parametri anziché cinque: l'apertura "a != 0" e la posizione del vertice V(w, h).
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A) I vincoli che consentono di determinare i parametri sono quelli citati nel testo.
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A1) "tangente l'asse x in A(4, 0)"
Poiché Γs ha asse verticale l'unica possibile tangente orizzontale è quella di vertice.
Quindi
* A(4, 0) = V(4, 0)
* w = 4
* h = 0
* Γs ≡ y = a*(x - 4)^2
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A2) "passante per B(0, 4)"
Dal vincolo d'appartenenza
* 4 = a*(0 - 4)^2 ≡ a = 1/4
si determinano sia la parabola richiesta
* Γs ≡ y = (x - 4)^2/4 ≡
≡ y = (x/2 - 2)^2 ≡
≡ y = x^2/4 - 2*x + 4
che è proprio il risultato atteso, sia la sua pendenza
* m(x) = x/2 - 2
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B) Il punto B(0, 4) è su Γs per costruzione, quindi la tangente richiesta è la sua polare p che si ricava per sdoppiamento dalla forma normale canonica
* Γs ≡ x^2/4 - 2*x + 4 - y = 0
da cui
* p ≡ 0*x/4 - 2*(x + 0)/2 + 4 - (y + 4)/2 = 0 ≡
≡ t ≡ y = - 2*(x - 2)
che è proprio il secondo risultato atteso.
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C) Ogni retta che intersechi entrambi gli assi fuori dall'origine si può scrivere nella forma normale segmentaria
* x/a + y/b = 1
e l'area S del triangolo rettangolo che forma con gli assi è il semiprodotto dei cateti
* S = |a*b|/2
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Per la retta t si ha
* t ≡ y = - 2*(x - 2) ≡
≡ 2*x + y = 4 ≡
≡ x/2 + y/4 = 1
* S = |2*4|/2 = 4
che è proprio il terzo risultato atteso.
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