[Risolto] Esercizio su norma

Eccoci di nuovo!

Ti ringrazio per i quesiti che posti, questo in particolare è stato davvero divertente! 🙂

La (1) è corretta: il minimo è positivo perché le due norme sono entrambe positive. Nota che $\lambda>0$ già per ipotesi.

Anche la (2) va bene così.

Per la (3) puoi farla in modo snello direttamente come: 

$\left\| \alpha f(x) \right\|_m = min \{\left\| \alpha f(x) \right\|_{\infty}, \left\| \alpha f(x) \right\|_{1,\lambda}\} =$

$min\{sup_{x\in[0,1]}|\alpha f(x)|, \lambda\int_0^1|\alpha f(x)|dx\}=$
$min\{|\alpha|sup_{x\in[0,1]}|f(x)|, \lambda|\alpha|\int_0^1|f(x)|dx\}= $
$|\alpha|min \{\left\|f(x) \right\|_{\infty}, \left\|f(x) \right\|_{1,\lambda}\}$

Per quanto riguarda la (4), fino a questo passaggio procede tutto come prima:

$\left\| f+g \right\|_m =min\{\left\| f+g \right\|_\infty, \left\| f+g \right\|_{1,\lambda}\}=$

$min\{sup_{x\in[0,1]}|f(x)+g(x)|, \lambda\int_0^1|f(x)+g(x)|dx\} \leq $

$min\{sup_{x\in[0,1]}|f(x)|+sup_{x\in[0,1]}|g(x)|, \lambda\int_0^1|f(x)|dx+\lambda\int_0^1|g(x)|dx\}$

Ora però, come facciamo ad ottenere la somma dei minimi? 

Purtroppo non è vero che:

$min\{a+b, c+d\} \leq min\{a,c\} + min\{b,d\}$

che è quello che ci servirebbe.

Infatti se hai ad esempio:

$ min\{2+3; 1+5\} = min\{5,6\}= 5$

ma 

$min\{2,1\}+ min\{3,5\} = 1+3 = 4$

e dunque 

$min\{2+3; 1+5\} > min\{2,1\}+ min\{3,5\}$ 

Quindi dato che in generale non è vero, ci serve trovare un $\lambda$ adeguato per far sì che la disuguaglianza sia sempre verificata.

Nota però che se sappiamo che $c<a$ e $d<b$ e dunque ovviamente $c+d<a+b$ allora possiamo certamente dire che:

$min\{a+b,c+d\}=c+d$

e che

$min\{a,c\}+min\{b,d\}=c+d$

Dunque la seguente uguaglianza:

$ min\{a+b, c+d\} = min\{a,c\} + min\{b,d\}$ vale se $c<a$ e $d<b$.

Nel nostro caso dobbiamo quindi chiedere che valgano:

$ \lambda \int_0^1 |f(x)|dx < sup_{x\in[0,1]} |f(x)$

e

$ \lambda \int_0^1 |g(x)|dx < sup_{x\in[0,1]} |g(x)$

Ragioniamo sulla $f$, per la $g$ il discorso è del tutto analogo.

Nota che:

$\lambda \int_0^1 |f(x)|dx \leq \lambda \int_0^1 sup_{x \in [0,1]} |f(x)| dx = \lambda sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$ 

Se $\lambda \leq 1$ allora possiamo scrivere ancora:

$\lambda sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \leq sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$

Quindi affinché valga la disuguaglianza triangolare, ci serve porre $0<\lambda\leq1$.

Noemi