[Risolto] Esercizio su iperbole

CE NE SONO UNA MOLTEPLICE INFINITA': prima aggiusto la circonferenza, poi te ne mostro qualcuna.
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A) CIRCONFERENZA
* x^2 + y^2 - 2*x - 3 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x + y^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1^2 + y^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + y^2 = 2^2
quindi: centro C(1, 0); raggio r = 2.
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B) IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASSI DI SIMMETRIA
La generica equazione è
* Γ(h) ≡ x^2 - y^2 = h = ± a^2
di semiassi "a" e semidistanza focale
* c = (√2)*a
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C) IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI
La generica equazione e
* Γ(k) ≡ x*y = k = ± a^2
di semiassi "a" e semidistanza focale
* c = (√2)*a
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D) CONCENTRICHE ALLA CIRCONFERENZA
D1) Γ(h) ≡ (x - 1)^2 - y^2 = h = ± a^2
D2) Γ(k) ≡ (x - 1)*y = k = ± a^2
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E) INFINITE ALTRE al variare di centro e orientamento
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ESERCIZIO MALPOSTO per carenza di vincoli
«Calcola l'equazione dell'iperbole equilatera che determina sulla circonferenza x^2+y^2-2x-3=0 due punti la cui distanza è 2√3.»
In assenza di indicazione, scelgo io: la forma D2 coi fuochi sull'asse y.
* Γ(k) ≡ (x - 1)*y = k = - a^2
Le intersezioni si ricavano dal sistema
* ((x - 1)^2 + y^2 = 4) & ((x - 1)*y = - a^2) & (a > 0) ≡
≡ A(1 - U, a^2/U) oppure C(1 + U, - a^2/U) oppure B(1 - V, a^2/V) oppure D(1 + V, - a^2/V)
dove
* U = √(2 - √(4 - a^4))
* V = √(2 + √(4 - a^4))
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Le distanze |AC| = |BD| = 4, fra punti diametrali, non interessano perché costanti.
Sono invece parametriche le altre due
* |AB| = 2*√(2 - a^2)
* |BC| = 2*√(2 + a^2)
e su queste si può imporre il vincolo di valere 2*√3.
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* |AB| = 2*√(2 - a^2) = 2*√3 ≡ a = ± i
* |BC| = 2*√(2 + a^2) = 2*√3 ≡ a = ± 1
da cui, finalmente, ecco una delle possibili iperboli che soddisfanno al requisito
* Γ(- 1) ≡ (x - 1)*y = - 1
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x-1%29%5E2%2By%5E2%3D4%29%26%28%28x-1%29*y%3D-1%29

@somoya

Ciao. Non è che hai dimenticato di scrivere qualcos'altro?

Continuo..

x^2+y^2-2x-3=0

determino le caratteristiche della circonferenza assegnata dai coefficienti a, b, c

a=-2 , b=0, c=-3

Quindi: C(α, β) = C(1,0);    r = √(α^2 + β^2 - c)  ; r = 2

Osservo che, rispetto a questa circonferenza, il segmento di lunghezza data, cioè 2·√3 = 3.46 corrisponde al lato del triangolo equilatero inscritto in tale circonferenza. (lo deduco dalla figura allegata)

Fra le iperboli equilatere x^2/k - y^2/k = 1 cerco quindi quella che passa per D (oppure per A oppure per B)

Il punto D ha coordinate D(2,√3) quindi imponendo il passaggio:

2^2/k - √3^2/k = 1--------> 1/k = 1------> k = 1

Iperbole equilatera cercata: x^2 - y^2 = 1