Data la funzione $f(x)=\frac{a x}{x^2+2 x+a}$, con $a \in \mathbb{R}-\{0\}$ :
a. determina per quali valori di $a$ la funzione ha come dominio $\mathbb{R}$;
b. determina per quali valori di $a$ la funzione ha come insieme immagine $\mathbb{R}$;
c. stabilisci se esistono valori di a per cui sia il dominio sia l'insieme immagine coincidono con $\mathbb{R}$.
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Livello 0
y = a·x/(x^2 + 2·x + a) con a ≠ 0
Quindi funzione razionale fratta che per a ≠ 0 passa sempre per l'origine del sistema di riferimento.
Quindi a seconda che il denominatore si annulli più o meno abbiamo la possibilità di uno , due o nessun asintoto verticale. Se si vuole come il primo punto considera, che il C.E. sia R, deve essere verificata la condizione:
x^2 + 2·x + a ≠ 0
cioè deve realizzarsi il fatto: Δ/4 < 0 ossia: 1 - a < 0-----> a > 1
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Per a=1 il denominatore risulta pari a:
x^2 + 2·x + 1 = (x + 1)^2
quindi la funzione ha un solo asintoto verticale x=-1
Per valori di a: a<1
hai due asintoti verticali : x1 = - √(1 - a) - 1 ∨ x2 = √(1 - a) - 1
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Per avere l'insieme immagine tale per cui valga R la funzione y deve andare a ±∞ per valori finiti di x in quanto il denominatore essendo di 2° grado, quindi superiore del numeratore, fa tendere la funzione a y-->0 per cui y=0 è asintoto orizzontale.
A questo punto ci viene in soccorso la Regola di Cartesio: " siccome per x=0 la funzione si annulla, occorre che l'equazione: x^2 + 2·x + a = 0 abbia 1 permanenza ed 1 variazione in modo tale da avere una radice positiva ed una negativa: quindi a<0
In tal modo abbiamo che nel tratto ]x1; x2[ dovendo passare per lo 0 da una parte spara a -∞ e dall'altra a +∞
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Genius II
