Esercizio su forma differenziale

Question

[attach]83423[/attach] per quanto riguarda il primo punto penso di aver capito come risolverlo, vorrei che qualcuno me lo confermasse. La forma differenziale risulta chiusa. Il dominio non è semplicemente connesso quindi non posso concludere che sia esatta. Però se considero la circonferenza di centro l'origine è raggio r>0 e calcolo l'integrale lungo questa curva, risulta essere 0. La forma differenziale è esatta se l'integrale esteso a qualunque curva chiusa contenente il punto (0, 0) è null0. Ora poichè ogni curva chiusa è omotopa alla circonferenza di centro l'origine e raggio r, posso dire che la forma differenziale è anche esatta. Ho dei dubbi sul punto 2, a parte il fatto che secondo me è formulato male perchè dice che la curva è percorsa in senso antiorario, ma il quarto di circonferenza dice che parte da (1, 0) e finisce in (0, -1) ed è percorsa in senso antiorario, ma come fa a essere percorsa in senso antiorario in questo caso? Idem per il segmento che unisce (0, -1) con (1, 0). Non mi è molto chiaro. Sono io che non ho compreso oppure la traccia è scritta male? Inoltre poichè la forma differenziale è esatta non dovrebbe essere nullo l'integrale essendo γ chiusa? Vorrei capire meglio queste cose, qualcuno può aiutarmi? Grazie mille.

enrico_bufacchi · Accepted Answer

[ omega = P(x,y)dx + Q(x,y)dy  quad  e' chiusa se   quad  frac { partial Q}{ partial x} =  frac { partial P}{ partial y}  implies ] [ omega =  frac {x}{(x^2 + y^2)^2} +  frac {y}{(x^2 + y^2)^2}  mid  frac { partial }{ partial x}  frac {y}{(x^2 + y^2)^2} =  frac { partial }{ partial y} frac {x}{(x^2 + y^2)^2}  implies ] [- frac {4xy}{(x^2 + y^2)^3} = - frac {4xy}{(x^2 + y^2)^3},,] quindi è chiusa. Per determinare se è una forma differenziale esatta, è necessario trovare una funzione scalare potenziale f(x,y)  mid df =  omega ,$, ovvero [P =  frac { partial f}{ partial x}  qquad Q =  frac { partial f}{ partial y},.] [f(x,y) =  int P(x,y): dx =  int  frac {x^2}{(x^2 + y^2)^2}: dx = - frac {1}{2(x^2 + y^2)} + k(y),.] Determiniamo k(y),$: [ frac { partial }{ partial y} (- frac {1}{2(x^2 + y^2)}) + k'(y) =  frac {y}{(x^2 + y^2)^2}  implies ] [ frac {y}{(x^2 + y^2)^2} + k'(y) =  frac {y}{(x^2 + y^2)^2}  implies k'(y) = 0,;] allora k(y) =  phi  in  mathbb {R},$. Poiché è costante, si sceglie zero per semplicità; quindi la funzione potenziale è [f(x,y) = - frac {1}{2(x^2 + y^2)},,] quindi è una forma differenziale esatta. L'integrale curvilineo lungo  gamma _1$ si calcola come [ int _{ gamma _1}  omega  mid  gamma _1 = ( cos {(t)},  sin {(t)}), t  in  left [0,  frac {3 pi }{2} right ],.] Sostituendo la curva nell'espressione di  omega si ottiene [ int _{ gamma _1}  cos {(t)}(- sin {(t)}dt) +  sin {(t)}( cos {(t)}dt) = 0,.] L'integrale curvilineo lungo  gamma _2$ si calcola come [ int _{ gamma _2}  omega  mid  gamma _2 = (t, -1 + t), t  in [0, 1],.] Dopo opportune sostituzioni e integrazioni rispetto a intervalli topologici coerenti si ottiene che tale integrale è zero. Quindi: [ int _{ gamma _1}  omega +  int _{ gamma _2}  omega = 0,.]

[Risolto] Esercizio su forma differenziale

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