ESERCIZIO SU BASI E DIMENSIONE CON PARAMETRO

Non riesco a leggere il tuo scritto, ma è un mio problema. Proverò a rispondere in modo che tu possa confrontarla con il tuo svolgimento.

a.   Base di V.

3 variabili libere per cui una base è {(-1,0,0,1), (-2,0,1,0), (-2,1,0,0)}

Ho scelto come variabili libere y, z, t. Ho assegnato a loro il valore 0 oppure 1 calcolando il valore che deve assumere la x per soddisfare l'equazione. I tre vettori così costruiti sono linearmente indipendenti vista la distribuzione degli zeri. 

b.    Si operi con Gauss sui 3 vettori che generano $U_h$, o ancor meglio si nota che vale

(-7, 4, 2, 2h+3) - (-4, 2, 1, h+2) = (-3, 2, 1, h+1)

questo significa che i tre vettori sono linearmente dipendenti, e tale dipendenza è presente per ogni valore attribuito a h.

Una base di $U_h$ sarà {(-7, 4, 2, 2h+3), (-4, 2, 1, h+2)} (l'indipendenza lineare è evidente)

nota: potevamo scegliere anche un'altra coppia. Sarebbe stata sempre una base di $U_h$.

c.  Si tratta di calcolare una base del sottospazio di $V + U_h$ al variare di h.

Costruiamo una matrice composta dai 3 vettori base di V e da un vettore della base di $U_h$. Potevamo scegliere diversamente a esempio 2 e 2. Speriamo che la nostra scelta semplifichi i calcoli.

$ \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & h+2 \end{pmatrix}$

  lavoriamo con Gauss per determinarne i pivot. Dopo qualche passaggio si ottiene

$ \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & h+4 \end{pmatrix}$

Conclusione:

• Se h ≠ -4 si hanno 4 pivot cioè dim$V + U_h$ = 4 (questo significa che la somma copre tutto lo spazio ℝ⁴)
• Se h = -4 si hanno 3 pivot cioè dim$V + U_h$ = dim $V$ = 3 (questo significa che $U_h \, \subset V$ 

Aggiunta successiva.

Abbiamo dimostrato che con un vettore della base di $U_h$ per h = -4 lo spazio $V + U_h$ ha dimensione 3 ma, con l'altro vettore cioè (-7, 4, 2, -5) ha ancora dimensione 3? Si dimostra  che i 4 vettori (-1,0,0,1), (-2,0,1,0), (-2,1,0,0),  (-7, 4, 2, -5) sono linearmente dipendenti, validando la risposta data in precedenza.