-Studia il fascio di rette di equazione (k - 1) x + (1 - k) y + 2- k = 0, indicando la retta r del fascio che non viene rappresentata da nessun valore del parametro k.
-Individua le coordinate dei vertici C1 e C2 dei due triangoli isosceli, di area 24, aventi base AB con A e B appartenenti alla retta r e con l'ascissa che è soluzione dell'equazione x^2 - 2x - 3 = 0.
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Calcola l'area del quadrilatero AC1 BC2
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Livello 0
(k - 1)·x + (1 - k)·y + 2 - k = 0
riscriviamo il fascio nel seguente modo:
k·(x - y - 1) - x + y + 2 = 0
La retta che non si può rappresentare del fascio è:
x - y - 1 = 0 retta r : y = x - 1 con m=1
(è nascosta da k)
Su tale retta cerco due punti di ascissa pari alle radici dell'equazione:
x^2 - 2·x - 3 = 0----> (x + 1)·(x - 3) = 0
quindi: x = 3 ∨ x = -1
Per x = 3:
3 - y - 1 = 0----> y = 2
A(3,2)
Per x = -1
-1 - y - 1 = 0----> y = -2
B(-1,-2)
I vertici C e C2 si trovano sull'asse del segmento AB.
Punto medio:
{x=(3-1)/2
{y=(2-2)/2
M(1,0)
retta per M e di coefficiente angolare m=-1
y = - 1·(x - 1)----> y = 1 - x
Adesso forse puoi andare avanti tu! Ciao.
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Genius II
1a) Studiare il fascio di rette
* r(k) ≡ (k - 1)*x + (1 - k)*y + (2 - k) = 0
che, con tutt'e tre i coefficienti parametrici, ma con due sole espressioni, ha solo due casi particolari oltre a quello generale.
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1a1) Per k = 1 si ha r(1) ≡ 1 = 2 ≡ contraddizione
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1a2) Per k = 2 si ha r(2) ≡ y = x, la bisettrice dei quadranti dispari
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1a3) Il caso generale è un fascio improprio di pendenza uno
* (r(k) ≡ (y = x + (2 - k)/(k - 1)) & (k != 1)
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1b) Indicando la retta 'r' del fascio non generabile da alcun valore di k.
Vale a dire trovare quale intercetta non risulti attingibile.
* q = (2 - k)/(k - 1) ≡ (k = (q + 2)/(q + 1)) & (q != - 1)
La retta
* r ≡ y = x - 1
ha sì pendenza uno, ma non si genera da r(k).
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2) x^2 - 2*x - 3 = (x + 1)*(x - 3) = 0
* A(- 1, - 2), B(2, 1), M = (A + B)/2 = (1/2, - 1/2) sulla bisettrice dei quadranti pari
* |AB| = 3*√2
* |AB|*h/2 = 24 ≡ (3*√2)*h/2 = 24 ≡ h = 8*√2
I vertici C sono le intersezioni fra l'asse di AB, bisettrice dei quadranti pari,
* y = - x
e la circonferenza di centro M(1/2, - 1/2) e raggio h = 8*√2
* Γ ≡ (x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = (8*√2)^2
cioè
* (y = - x) & ((x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = (8*√2)^2) ≡ C1(- 15/2, 15/2) oppure C2(17/2, - 17/2)
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3) Calcolare l'area del quadrilatero AC1 BC2
L'area S del rombo è il semiprodotto delle diagonali che, per costruzione, sono lunghe |AB| e 2*h
* S = (3*√2)*(2*8*√2)/2 = 48
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Genius I
