Esercizio relatività fisica

Se ci allontaniamo con velocità v dal segnale verde, la frequenza diminuisce, aumenta la lunghezza d'onda;

λ verde = 525 nm;  λ' > λ verde;

se ci avviciniamo al segnale rosso, la frequenza aumenta, la lunghezza d'onda diminuisce;

λ rosso = 650 nm;  λ' < λ rosso;

vogliamo vedere la stessa  lunghezza d'onda λ';

c = λ * f;  

f = c / λ ;

β = v / c = v / (3 * 10^8);

f' = f * radicequadrata[(1 - β) / (1 + β)];  (1) in allontanamento dal verde;

f' = f * radicequadrata[(1 + β) / (1 - β)];  (2) in avvicinamento al rosso;

c /λ' = c /525 * radicequadrata[(1 - β) / (1 + β)]; (1)

c /λ' = c /650 * radicequadrata[(1 + β) / (1 - β)]; (2)

1/λ' = 1 /525 * radicequadrata[(1 - v/c) / (1 + v/c)]; (1)

1/λ' = 1 /650 * radicequadrata[(1 + v/c) / (1 - v/c)]; (2)

deve essere  (1) = (2)

1 /525 * radice[(1 - v/c) / (1 + v/c)] = 1 /650 * radice[(1 + v/c) / (1 - v/c)];

650 / 525 = radice[(1 + v/c) / (1 - v/c)] : radice[(1 - v/c) / (1 + v/c)];

eleviamo al quadrato:

(650/525)^2 = [(1 + v/c) / (1 - v/c)] : [(1 - v/c) / (1 + v/c)];

1,238^2 = [(1 + v/c) / (1 - v/c)] * [(1 + v/c) / (1 - v/c)];

1,533 = (1 + v/c)^2 / (1 - v/c)^2;

[(c + v)/c]^2 : [(c - v)/c]^2 = 1,533;

(c + v)^2 : (c - v)^2 = 1,533;

(c + v)^2 = 1,533 * (c - v)^2;

c^2 + v^2 + 2cv = 1,533 * (c^2 + v^2 - 2cv);

c^2 + v^2 - 1,533 * c^2 - 1,533 v^2 + 2cv + 1,533 * 2cv = 0

v^2 - 1,533 v^2 + 2 cv + 3,066 cv + c^2 - 1,533 * c^2 = 0;

- 0,533 v^2 + 5,066 cv - 0,533 c^2 = 0

0,533 v^2 - 5,066 cv + 0,533 c^2 = 0;

v = {+ 5,066c +- radice[(5,066c)^2 - 4 * 0,533 * 0,533c^2]}/(2 * 0,533);

v = {+ 5,066c +- radice[25,664c^2 - 1,136c^2]} /(2 * 0,533);

v = {+ 5,066c +- radice[24,528c^2]} /(1,066);

v = {+ 5,066c +- 4,953c} / 1,066;

v1 = (5,066 + 4,953)c / 1,066 = 9,4 c > c; (non accettabile);

v2 = (5,066 - 4,953)c / 1,066 = 0,106 c < c; soluzione accettabile;

v2 = 0,106 * 3 * 10^8 = 3,18* 10^7 m/s.

ricaviamo λ' con v = 3,18 * 10^7 m/s;

β = v / c = 3,18 * 10^7 / 3 * 10^8 = 0,106;

1/λ' = 1 /650 * radicequadrata[(1 + v/c) / (1 - v/c)]; 

1/λ' = 1 /650 * radicequadrata[(1 + 0,106)/(1 - 0,106)];

1/λ' = 1 /650 * radicequadrata[1,237];

1/λ' =   1,112 / 650;

1/λ' = 1,711;

λ' = 1/1,711 = 584 nm; lunghezza d'onda percepita,

(giallo tra verde e rosso).

Ciao @katie