[Risolto] Esercizio parabola

Sia $y=ax^2+bx+c$ l'equazione di una generica parabola con asse parallelo all'asse delle y.

il passaggio per $(0,2)$ ci porta a fissare $c$, in partcolare $c=2$

il passaggio per $(2,0)$ ci porta a:

$0=4a+2b+2$ -->$0=2a+b+1$ --> $b=-2a-1$

quindi siamo arrivati alla seguente equazione in cui esiste solo il parametro $a$:

$y=ax^2-(2a+1)bx+2$

Calcoliamo le coordinate del vertice:

$x_V=-b/2a=\frac{2a+1}{2a}$

$y_V=-\Delta/4a=-\frac{(2a-1)^2}{4a}$

per appartenere alla retta $x+12y=0$ deve succedere:

$x_V+12y_V=0$ --> $\frac{2a+1}{2a}-12\frac{(2a-1)^2}{4a}=0$

che ci porta all'equazione:

$-24a^2+26a-5=0$

$\Delta=676-24*20=196=14^2$

$a_1=\frac{-16-14}{-48}=5/6$

$a_2=\frac{-16+14}{-48}=1/4$

usando $a_1$ si ottiene $x_V=8/5$ che quindi non è accettabile per quanto vuole il testo.

Usando $a_2$ si ottiene $x_V=3$ che quindi è accettabile.

Quindi l'equazione finale è

$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+2$

QUESITO #1 ("Scrivi l'equazione della parabola, ...")
------------------------------
Ogni parabola con
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
* asse parallelo all'asse y
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ y = a*(x - w)^2 + h
---------------
a) "vertice di ascissa maggiore di 2" ≡ w > 2
---------------
b) "vertice ... appartenente alla retta x + 12y = 0" ≡ h = - w/12 < - 1/6
* Γ(a, w) ≡ y = a*(x - w)^2 - w/12
---------------
c1) "passa per il punto (2; 0)" ≡ 0 = a*(2 - w)^2 - w/12 ≡
≡ (a = w/(12*(w - 2)^2)) & (w != 2)
* Γ(w) ≡ (y = w*(x - w)^2/(12*(w - 2)^2) - w/12) & (w > 2)
---------------
c2) "passa per il punto (0; 2)" ≡
≡ (2 = w*(0 - w)^2/(12*(w - 2)^2) - w/12) & (w > 2) ≡
≡ w = 3
* Γ ≡ y = (x - 3)^2/4 - 1/4
==============================
QUESITO #2 ("Considera ... Q ... e trova i punti ...")
------------------------------
L'asse della parabola Γ è x = 3, quindi
* Q(3, 8)
e il suo punto generico è
* P(x, (x - 2)*(x - 4)/4)
La distanza |QP| (al quadrato) è
* |QP|^2 = d(x) = (x^4 - 12*x^3 + 4*x^2 + 192*x + 720)/16
ha due minimi simmetrici per
* P1(- 2, 6)
* P2(8, 6)
a distanza da Q
* |QP| = √29
==============================
QUESITO #3 ("Scrivi infine ...")
------------------------------
Ogni circonferenza centrata in Q ha equazione
* Γc ≡ (x - 3)^2 + (y - 8)^2 = q = r^2
ha {0, 2, 4, 3, 4, 2} punti comuni a Γ al crescere di q: la distanza minima da Q si ha per il valore di passaggio fra zero e due intersezioni.
---------------
Quella richiesta è
* Γc ≡ (x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 29
---------------
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x-2%29*%28x-4%29%2F4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D25%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x-2%29*%28x-4%29%2F4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D29%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x-2%29*%28x-4%29%2F4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D32%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x-2%29*%28x-4%29%2F4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D%2833%2F4%29%5E2%5D
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x-2%29*%28x-4%29%2F4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D45%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x-2%29*%28x-4%29%2F4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-8%29%5E2%3D95%5D