Data la parabola di equazione $y=\frac{1}{4} x^2$, considera un punto $Q$ della direttrice.
a. Verifica che le due tangenti alla parabola condotte da $Q$ sono perpendicolari.
b. Determina la tangente $t$ alla parabola nel suo punto $P$ di ascissa 3. Trova poi la tangente alla parabola perpendicolare a $t$. Verifica che le due tangenti si intersecano in un punto della direttrice.
[b) $\left.y=\frac{3}{2} x-\frac{9}{4}, y=-\frac{2}{3} x-\frac{4}{9},\left(\frac{5}{6} ;-1\right)\right]$
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Non è che riesci a venderti una dimostrazione generale al posto di due verifiche su casi particolari?
Se non ci riesci, puoi particolarizzare le equazioni della dimostrazione per i casi particolari.
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Parabola
La generica parabola Γ non degenere con
* asse di simmetria: x = w, parallelo all'asse y
* apertura: a != 0
* vertice: V(w, h)
ha
* equazione: Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
* fuoco: F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice: d ≡ y = h - 1/(4*a)
* forma normale canonica: Γ ≡ a*x^2 - 2*a*w*x - y + (a*w^2 + h) = 0
* pendenza: m(x) = 2*a*(x - w)
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Teorema: due rette tangenti una parabola sono ortogonali se e solo se s'intersecano sulla direttrice.
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Le tangenti tratte da un punto P(u, h - 1/(4*a)) della direttrice sono ortogonali.
Le rette per P che possono essere tangenti Γ sono
* t(k) ≡ y = h - 1/(4*a) + k*(x - u)
e lo sono se e solo se è zero il discriminante della risolvente del sistema
* t(k) & Γ ≡ (y = h - 1/(4*a) + k*(x - u)) & (y = h + a*(x - w)^2)
* risolvente: h + a*(x - w)^2 - (h - 1/(4*a) + k*(x - u)) = 0
* Δ(k) = k^2 + 4*a*(w - u)*k - 1
Il prodotto degli zeri di un trinomio quadratico monico è il suo termine noto, qui eguale a meno uno.
Se il prodotto delle pendenze di due rette è - 1 le rette sono ortogonali: essendo k la pendenza delle t(k) la tesi è vera per ogni valore di u, cioè per ogni punto della direttrice.
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Due tangenti ortogonali s'intersecano sulla direttrice.
La tangente in un punto T(u, h + a*(u - w)^2) non di vertice (u != w), di pendenza m = 2*a*(u - w), è
* t1 ≡ y = yT + m*(x - xT) ≡ y = 2*a*(u - w)*x + a*(w^2 - u^2) + h
e il fascio delle sue perpendicolari è
* p(q) ≡ y = q - x/(2*a*(u - w))
Fra queste si trova quella tangente come prima (Δ(q) = 0)
* p(q) & Γ ≡ (y = q - x/(2*a*(u - w))) & (y = h + a*(x - w)^2)
* risolvente: h + a*(x - w)^2 - (q - x/(2*a*(u - w))) = 0
* Δ(q) = 0 ≡
≡ q = h + (8*(u - w)*w*a^2 - 1)/((16*(u - w)^2)*a^3)
* t2 ≡ y = h + (8*(u - w)*w*a^2 - 1)/((16*(u - w)^2)*a^3) - x/(2*a*(u - w))
* t1 & t2 ≡ (y = 2*a*(u - w)*x + a*(w^2 - u^2) + h) & (y = h + (8*(u - w)*w*a^2 - 1)/((16*(u - w)^2)*a^3) - x/(2*a*(u - w))) ≡
≡ P((u + w)/2 - 1/(8*(u - w)*a^2), h - 1/(4*a))
Poiché yP è proprio quella della direttrice, la tesi è vera per ogni valore di u, cioè per ogni punto non di vertice della parabola.
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