Data la parabola di equazione $y=a x^2+b x+c$ con il vertice nell'origine e passante per il punto $\left(\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, considera il triangolo equilatero $A B O$ che ha un vertice in $O$ e i vertici $A$ e $B$ sulla parabola. Trova le coordinate di $A$ e $B$ e l'area del triangolo.
$$
[A(1 ; \sqrt{3}), B(-1 ; \sqrt{3}) ; \sqrt{3}]
$$
8
punti
Livello 0
L'equazione è del tipo: y = a·x^2
con il passaggio per [√3/3, √3/3] determiniamo a:
√3/3 = a·(√3/3)^2----- > a = √3
quindi parabola: y = √3·x^2
Un suo generico punto ha coordinate: [x, √3·x^2]
Quindi posto x>0:
√(x^2 + (√3·x^2)^2) = 2·x
x^2·(3·x^2 + 1) = 4·x^2
x^2·(3·x^2 + 1) - 4·x^2 = 0
3·x^4 - 3·x^2 = 0----> x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 0
Abbiamo quindi 2 punti:
[1, √3] che in figura è B e poi
[-1, √3] che in figura è A
Area ABO=1/2· AB*h=1/2·2·√3 = √3
(√3= 1.732050807)
90025
punti
Genius II
