Due punti $C$ e $P$ sono presi su una semicirconferenza di diametro $\overrightarrow{A B}=2 r$, in modo tale che, detto $\alpha$ l'angolo $\widehat{C A} P$, sia $\cos \alpha=\frac{24}{25}$. Determina la posizione di $P$ per cui è massima l'area di $A B P C$.
Scusate il disturbo, ma sto avendo alcune difficoltà nell’affrontare questo esercizio. Sarei estremamente grato se poteste offrirmi un aiuto o dei consigli per superare queste difficoltà. Grazie infinite.
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Livello 0
Ci proviamo. Ma non riesco a leggere la risposta.
Posto PAB^ = x, con 0 < x < pi/2 - a,
il triangolo APB é rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza
per cui AP = 2r cos x, PB = 2r sin x
S[APB] = 1/2 * 2r cos x * 2 r sin x = 2r^2 sin x cos x
Il triangolo OAC é isoscele (OA = OC perché raggi)
con angolo alla base pari a x+a
sin a = sqrt (1 - cos^2 a) = sqrt (1 - (24/25)^2) = sqrt (1 - 576/625) =
= sqrt (49/625) = 7/25
AC/2 = r sin [ pi/2 - (x + a) ] = r cos (x + a)
S[APC] = 1/2 AC * AP sin a = r cos (x + a) * 2r cos x * sin a =
= 2 r^2 sin a cos x cos (x+a)
e quindi
S[ABPC] = r^2 [ 2 sin a cos x (cos a cos x - sin a sin x) + 2 sin x cos x ]
e, sostituendo i valori noti, la quantità da rendere massima é
S/r^2 = 2*7/25 cos x ( 24/25 cos x - 7/25 sin x ) + 2 sin x cos x =
= 336/625 cos^2(x) - 98/625 sin x cos x + 2 sin x cos x =
= 336/625 cos^2(x) + 1152/625 sin x cos x =
= 48/625 [ 7 cos^2(x) + 24 sin x cos x ] =
= 48/625 [ 7/2 * (1 + cos 2x) + 12 sin 2x ] =
= 24/625 [ 7 + 7 cos 2x + 24 sin 2x ] =
= 24/625 [ 7 + 25 ( 7/25 cos 2x + 24/25 sin 2x ) ]
La quantità da rendere massima é ora
sin a cos 2x + cos a sin 2x = sin (2x + a)
e ciò avviene quando é 1
ovvero per 2x + a = pi/2
2x = pi/2 - a
x = pi/4 - a/2
L'area massima é 24/625 r^2 * (7 + 25) = 768/625 r^2
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Livello 7
