[Risolto] Esercizio matematica

Da regolamento è possibile postare un solo esercizio per domanda. Ti invito quindi a ripostare il secondo esercizio.

$F(x) = \int_1^{2x} e^{-(t-1)^2} dt -4x+1$

Per vedere che la funzione ha un punto di flesso, procediamo al calcolo della derivata, tenendo presente che essendo una funzione integrale, nel fare la derivata dell'integrale otteniamo la funzione integranda calcolata nell'estremo variabile. Inoltre dato che l'estremo superiore è $2x$, si tratta di una derivata composta, per cui dobbiamo moltiplicare per la derivata di $2x$:

$F'(x) = e^{-(2x-1)^2} \cdot D(2x) + D(-4x+1) = 2e^{-(2x-1)^2} -4$

Calcoliamo anche la derivata seconda:

$F"(x) = 2e^{-2(2x-1)^2}\cdot [-2(2x-1)] \cdot 2$

e verifichiamo se si annulla nel punto $x=1/2$, in tal caso sarà un punto di flesso:

$F"(1/2)= 2e^{-2(1-1)^2} \cdot [-2(1-1)] \cdot 2 = 0$

Quindi è effettivamente un flesso.

Per trovare la tangente, troviamo il coefficiente angolare calcolando la derivata prima in $x=1/2$:

$F'(1/2) =  2e^{-(1-1)^2} -4 = 2-4 = -2$

Ci serve anche la corrispondente ordinata, che calcoliamo sostituendo $x=1/2$ nella funzione iniziale:

$F(1/2) = \int_1^{1} e^{-(t-1)^2} dt -4(1/2)+1 = -2+1= -1$

dove l'integrale è ovviamente nullo perché gli estremi coincidono.

Quindi la tangente è:

$y-y_0 = m (x-x_0)$

$y-(-1) = -2 (x-1/2)$

$y+1 = -2x + 1$

$ y = -2x$

Noemi

@lucaperlini

Ciao e benvenuto. Un solo esercizio come da:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

esplicitando le tue difficoltà nell'affrontarlo. Le foto sono in più e devono essere nitide.

Secondo esercizio: