Risolvi senza utilizzare l'hopital il seguente limite:
f(x)=(senx)^tgx
L=lim x->0 f(x)
Risolvi senza utilizzare l'hopital il seguente limite:
f(x)=(senx)^tgx
L=lim x->0 f(x)
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Livello 0
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Livello 7
E' una forma indeterminata del tipo 0^0
f(x) = e^[tg x * ln sin x] =
= e^[ sin x/cos x * ln sin x ]
Quando x -> 0 il coseno tende a 1
lim_x->0 e^[ sin x/x * x * (ln sin (x)/x + ln x) ] =
= lim_x->0 e^ (x ln x) =
= e^[lim_x->0+ ln x/(1/x)].
Mi fermo qui. Il risultato del limite é 1 ma se lo devo dimostrare
non so farlo senza De L'Hospital.
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Livello 7
@eidosm Bravo! Nemmeno a me piacciono quelli che ti dicono quando, dove e come devi fare pipì. E se l'ho già fatta dieci minuti fa dove e come pareva a me?
@eidosm anch'io, ma la sfida è nell'usare solamente le conoscenze di un quinto liceo scientifico prima di affrontare le derivate.
Ok. Allora prova a ricordare come avete dimostrato lim_x->0 x^x prima di studiare le derivate.
Ti spiego meglio
All'esponente potresti fare dei cambi di variabile
lim_u->+oo ln (1/u)/u =
= - lim_u->+oo ln (u)/u =
= - lim_v->+oo v/e^v
Ma qui ti devi ricordare che
lim_y->+oo y^k/a^y = 0 se é a > 1
e questo non so se e come lo avete dimostrato.
\[\lim_{x\to 0} \sin{x}^{\tan{x}} = 0^0 \therefore \lim_{x\to 0} \sin{x}^{\tan{x}} = \lim_{x\to 0} e^{\log{\sin{x}^{\tan{x}}}} =\]
\[=\lim_{x\to 0} e^{\tan{x} \cdot \log{\sin{x}}} \overset{\text{Taylor}}{\approx} \lim_{x\to 0} e^{x \cdot \log{x}} = e^0 = 1\,.\]
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Livello 5
@enrico_bufacchi taylor non è ammesso, è tratto da un libro di quinto liceo scientifico dal capitolo dei limiti senza de l'hopital.
Faremo uso dell'ultimo della lista dei limiti notevoli, molto spesso dimenticato, e cioè
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} xln(x) = 0^- $
Il limite dato equivale al seguente
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \,\, e^{tan(x) \cdot ln(sin(x))} $
essendo l'esponenziale una funzione continua, possiamo calcolare a parte il limite dell'esponente.
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} tan(x) \cdot ln(sin(x)) $
che equivale a
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x} \cdot x [ln(\frac{sin(x)}{x} \cdot x)] $
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x} \cdot x [ln \frac{sin(x)}{x} + lnx)] $
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x} \cdot [x\cdot ln \frac{sin(x)}{x} + x\cdot lnx)] $
osserviamo che per x → 0⁺ si ha:
-) $ \frac{tan(x)}{x} → 1$
-) $x\cdot ln \frac{sin(x)}{x} → 0$
-) $x \cdot ln(x) → 0^-$
quindi l'esponente tende a 0, così il limite dato tenderà a 1.
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Livello 3