Un'iperbole con i fuochi sull'asse $y$ passa per il punto $(1 ;-4 \sqrt{5})$ e ha per asintoto la retta di equazione $2 x-y=0$. Determina l'equazione dell'iperbole e, dopo averne individuato le caratteristiche, disegnala.
$$
\left[\frac{x^2}{19}-\frac{y^2}{76}=-1\right]
$$
Potete aiutarmi?
6
punti
Livello 0
Ogni iperbole Γ non degenere e con i fuochi sull'asse y ha equazione in forma normale standard
* Γ ≡ (x/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = - 1
con i parametri: semiassi (a, b) positivi e ordinata β, reale qualsiasi, del centro C(0, β).
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Fra di esse quelle con asintoto la retta
* r ≡ 2*x - y = 0 ≡ y = 2*x
(che, dovendo passare per C, implica β = 0) hanno rapporto fra i semiassi pari alla pendenza dell'asintoto
* b/a = 2 ≡ b = 2*a
hanno equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/(2*a))^2 = - 1
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Fra di esse quelle per il punto P(1, - 4*√5) devono soddisfare al vincolo d'appartenenza di P
* (1/a)^2 - (- 4*√5/(2*a))^2 = - 1 ≡ a = √19 → b = 2*√19
da cui
* Γ ≡ (x/√19)^2 - (y/(2*√19))^2 = - 1 ≡
≡ 4*x^2 - y^2 + 76 = 0
57171
punti
Genius I
Grazie
