Determino il centro C dell'iperbole:
{y = 3 asintoto orizzontale
{x + √3·y = 0 asse di simmetria
quindi: [x = - 3·√3 ∧ y = 3]----> C( - 3·√3, 3)
L'altro asintoto (obliquo) gode di simmetria assiale rispetto all'asse di simmetria dell'asintoto orizzontale y=3
{η = ((1 - m^2)·x + 2·m·y - 2·m·q)/(1 + m^2)
{μ = (2·m·x + (m^2 - 1)·y + 2·q)/(1 + m^2)
Dove [η,μ] sono le coordinate correnti dell'asintoto stesso.
L'asse di simmetria ha equazione:
y = - √3·x/3 quindi: m = - √3/3 e q =0
{η = ((1 - (- √3/3)^2)·x + 2·(- √3/3)·y - 2·(- √3/3)·0)/(1 + (- √3/3)^2)
{μ = (2·(- √3/3)·x + ((- √3/3)^2 - 1)·y + 2·0)/(1 + (- √3/3)^2)
quindi:
{η = (x - √3·y)/2
{μ = - (√3·x + y)/2
L'asintoto orizzontale è rappresentato dal punto: [t, 3]
Quindi otteniamo le equazioni parametriche dell'asintoto obliquo dell'iperbole:
{η = (t - √3·3)/2
{μ = - (√3·t + 3)/2
ossia:
{x = t/2 - 3·√3/2 (cioè: x = η)
{y= - √3·t/2 - 3/2 (cioè: y = μ)
Dalla prima t = 2·x + 3·√3
per sostituzione:
y = - √3·(2·x + 3·√3)/2 - 3/2----> y = - √3·x - 6 asintoto obliquo iperbole)
Determino ora equazione iperbole
E' del tipo:
x = (a·y^2 + b·y + c)/(y - 3)
ossia:
x = (9·a + 3·b + c)/(y - 3) + (a·y + 3·a + b)
Nella seconda parentesi è rappresentato asintoto obliquo
Risolviamo quindi in x quanto trovato sopra:
x = - √3·y/3 - 2·√3
Quindi scriviamo il sistema:
{a = - √3/3
{3·a + b = - 2·√3
{2 = (a·0^2 + b·0 + c)/(0 - 3) (passaggio per A)
Risolvendo si ottiene: [a = - √3/3 ∧ b = - √3 ∧ c = -6]
Quindi:
x = ((- √3/3)·y^2 + (- √3)·y + -6)/(y - 3)
svolgendo i conti:
x = (√3·y^2 + 3·√3·y + 18)/(9 - 3·y)