[Risolto] Esercizio iperbole

@fedefanni

Ciao.

3·x^2 - 8·x·y - 3·y^2 + 8·x + 6·y - 1 = 0

Sviluppo l'iperbole in base ad y:

- 3·y^2 + y·(6 - 8·x) + (3·x^2 + 8·x - 1) = 0

tratto l'equazione così ottenuta come se fosse una semplice equazione di secondo grado:

a = -3

b = 6 - 8·x

c = 3·x^2 + 8·x - 1

calcolo il:

Δ/4 = (3 - 4·x)^2 + 3·(3·x^2 + 8·x - 1)

Δ/4 = 25·x^2 + 6

Risolvo in base ad y:

y = (4·x - 3 - √(25·x^2 + 6))/(-3)

y = (√(25·x^2 + 6) - 4·x + 3)/3

ottengo quindi una prima funzione irrazionale che costituisce l'arco superiore dell'iperbole

Poi analogamente ottengo:

y = - (√(25·x^2 + 6) + 4·x - 3)/3

che costituisce la seconda funzione irrazionale che indica il ramo inferiore  dell'iperbole.

Faccio riferimento solo alla prima funzione e vado a determinare i due asintoti obliqui che saranno necessariamente anche quelli della seconda funzione.

Quindi determino m:

m=

LIM((√(25·x^2 + 6) - 4·x + 3)/(3·x)) = -3

x--> -∞

poi q:

LIM((√(25·x^2 + 6) - 4·x + 3)/3 + 3·x) =1

x---> -∞

Asintoto sinistro: y = - 3·x + 1

Analogamente:

LIM((√(25·x^2 + 6) - 4·x + 3)/(3·x)) = 1/3

x--->+∞

poi

q=

LIM((√(25·x^2 + 6) - 4·x + 3)/3 - 1/3·x)=1

x---> +∞

Asintoto destro: y = 1/3·x + 1

I due asintoti trovati, costituiscono, per quanto detto sopra , gli asintoti dell'iperbole di partenza:

https://www.desmos.com/calculator/orgof7s78t

Scompongo la parte di 2^ grado

3x^2 - 9xy + xy - 3y^2 = 0

3x(x - 3y)+y(x - 3y) = 0

x - 3y = 0

3x + y = 0

Ricerca del centro di simmetria

x = 2a - x'

y = 2b - y'

3(2a - x)^2 - 8(2a - x)(2b - y) - 3(2b - y)^2 + 8(2a - x) + 6(2b - y) - 1 = 0

deve coincidere ordinatamente con 3x^2 - 8xy - 3y^2 + 8x + 6y - 1 = 0

Applicando il principio di identità dei polinomi si trova a = 0 e b = 1

3(4a^2 - 4ax + x^2) - 8(2a - x)(2b - y) - 3(2b - y)^2 + 8(2a - x) + 6(2b - y) - 1 = 0

3x^2 - 12ax + 12a^2

-8xy + 16 bx + 16 ay - 32 ab

- 3y^2 + 12 by - 12b^2

-8x - 6y

+ 16a + 12b - 1 = 0

-12a + 16b - 8 = 8

16a + 12b - 6 = 6

- 12a + 16 b = 16

16a + 12 b = 12

- 3a + 4 b = 4

4a + 3b = 3

-12 a + 16 b = 16

12 a + 9b = 9

25 b = 25

b = 1 e a = 0

Verifica

12a^2 - 32 ab - 12b^2 + 16 a + 12b =

= -12 b^2 + 12b = -12 + 12 = 0

x - 3y + h = 0 passa per (0,1) => h = 3

3x + y + k = 0 passa per (0,1) => k = -1

x - 3y + 3 = 0 e 3x + y - 1 = 0

Le equazioni degli asintoti sono
* y = 1 - 3*x
* y = 1 + x/3
e si ottengono con una procedura un po' macchinosa (la mia, almeno!).
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Determino il centro C come unico zero del gradiente del polinomio a primo membro della forma normale canonica data
* Γ ≡ p(x, y) = 3*x^2 − 8*x*y − 3*y^2 + 8*x + 6*y − 1 = 0
* ∇p(x, y) = (8 + 6*x - 8*y, 6 - 8*x - 6*y) = (0, 0) ≡ C(0, 1)
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Traslo: (x = X) & (y = Y + 1)
* Γ1 ≡ p1(X, Y) = 3*X^2 − 8*X*(Y + 1) − 3*(Y + 1)^2 + 8*X + 6*(Y + 1) − 1 = 0 ≡
≡ 3*X^2 − 8*X*Y − 3*Y^2 + 2 = 0
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Ruoto: (X = x*cos(θ) - y*sin(θ)) & (Y = x*sin(θ) + y*cos(θ))
NB: (x, y) NON sono quelli dell'originale; non mi va il Copia/Incolla con (ξ, η).
* Γ2 ≡ p2(x, y) = 3*(x*cos(θ) - y*sin(θ))^2 − 8*(x*cos(θ) - y*sin(θ))*(x*sin(θ) + y*cos(θ)) − 3*(x*sin(θ) + y*cos(θ))^2 + 2 = 0 ≡
≡ (3*cos(2*θ) - 4*sin(2*θ))*x^2 - 2*(3*sin(2*θ) + 4*cos(2*θ))*x*y - (3*cos(2*θ) - 4*sin(2*θ))*y^2 + 2 = 0
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Azzero il coefficiente del termine rettangolare col minimo θ possibile
* (3*sin(2*θ) + 4*cos(2*θ) = 0) & (- π/2 < θ < π/2) ≡
≡ (θ = - arctg(1/2)) oppure (θ = arctg(2))
fra cui arbitrariamente scelgo la rotazione antioraria, che applico a p2(x, y)
* 3*cos(2*arctg(2)) - 4*sin(2*arctg(2)) =
= 3*(2*cos^2(arctg(2)) - 1) - 4*(2*cos(arctg(2))*sin(arctg(2))) =
= - 5
* Γ2 ≡ p2(x, y) = 5*x^2 - 5*y^2 = 2 ≡
≡ (x/√(2/5))^2 + (y/√(2/5))^2 = 1
iperbole equilatera con asintoti le bisettrici dei quadranti, y = ± x.
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Voglio credere che a invertire rotazione e traslazione ci pensi da te.