Discutere al variare dei parametri reali α e β il carattere del seguente integrale improprio
Discutere al variare dei parametri reali α e β il carattere del seguente integrale improprio
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Livello 1
Se a é maggiore di 1 e b > 0 l'integrale converge perché l'integrando é maggiorato da
1/x^a con a > 1 che converge.
Resta da esaminare il caso a > 1 e b < 0 : questo lo lascio a te. Dopo una debole resistenza
l'integrale dovrebbe essere riportato a convergenza. Per assicurarsene S ln^h(x)/x^a dx
con ln x = t => x = e^t => dx = e^t dt
S t^h /(e^at) * e^t dt = S t^h e^(t(1-a)) dt l'esponente é negativo e quindi
l'esponenziale all'intorno dell'infinito schiaccia il monomio e determina convergenza.
Se a = 1 le primitive di 1/x * (ln x)^(-b) sono ln(x)^(-b + 1) + C che convergono se
- b + 1 < 0 => b > 1
Se a é minore di 1 l'integrale certamente diverge essendo il logaritmo un infinito di ordine infinitamente piccolo.
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Livello 7
@eidosm anche nel caso di α<1 si può operare la medesima sostituzione nell'integrale per dimostrare che diverge. In quei casi comunque ho utilizzato il criterio del confronto asintotico valido se il limite del rapporto è + infinito. Grazie dell'aiuto