The growth of bacteria is known to follow the law of exponential growth $N(t)=N_0 e^{k t}$. If the original size of the colony is 100 bacteria and 4 hours later it is 100,000 bacteria, how many hours after the original time will the colony number count up to $1,000,000$ bacteria?
(USA Southern Illinois University Carbondale, Final Exam, Fall 2001)
$\left[5 \mathrm{~h} 20^{\prime}\right]$
6
punti
Livello 0
Using the condition at the beginning
we can write
100 e^(4k) = 100000
which leads ti
e^4k = 1000
e^k = 10^(3/4)
Now, at the end,
100 e^(kT) = 1000000
e^kT = 10^4
By substitution
10^(3/4 T) = 10^4
From there we deduce
3/4 T = 4
and finally
T = 4*4/3 h = 16/3 h = 320 min = 5h 20 min
45525
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Livello 7
Ripasso
Il modello matematico dell'evoluzione esponenziale è la forma chiusa della progressione geometrica di ragione r e fattore di forma A
* (a(0) = A) & (a(k + 1) = r*a(k)) ≡ a(k) = A*r^k
L'evoluzione così modellata si chiama "decadimento" se r < 1 o "crescita" se r > 1.
Sostituendo l'indice k discreto col tempo t continuo si hanno le due forme
* decadimento esponenziale (atomi radioattivi): n(t) = N*e^(- t/τ)
* crescita esponenziale (colonia batterica): n(t) = N*e^(+ t/τ)
dove il fattore di forma è N (numero di atomi/batteri all'istante t = 0) è la ragione è r = e^(± 1/τ); la costante τ è un tempo e si chiama costante di tempo dell'evoluzione.
L'equazione è determinata dalla coppia di costanti (N, τ).
Esercizio
* n(t) = N*e^(t/τ)
"If the original size of the colony is 100 bacteria" ≡ N = 10^2
"4 hours later it is 100,000" ≡ n(4) = 100*e^(4/τ) = 10^5 ≡ τ = 4/ln(1000)
* n(t) = 100*e^(t/(4/ln(1000)))
"how many hours after ... count up to 10^6 bacteria?"
* n(x) = 100*e^(x/(4/ln(1000))) = 10^6 ≡ x = 16/3 = 5 + 1/3 = 5 h 20 min
57171
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Genius I
