Esercizio geometrico n. 17

(10-FH)/FH = 10/4 

40-4FH = 10FH

40 = 14FH

FH = 20/7 

area ABFD = (20/7)^2+20/7*(4-20/7) = 11,4286

area AEC = 10^2/2 = 50 

area ABC = 10*4/2 = 20

area BFE = (10-20/7)*20/14-20/14*(4-20/7) = 8,5714

area CEF = area AEC-(area ABC+area BFE) = 50-(20+8,5714) = 21,4286

area CEF-area ABFD = 21,4286-11,4286 = 10,0000

@Beppe e p.c. @LucianoP @Remanzini_Rinaldo
Ho visto quest'esercizio martedì sera quando ancora non c'erano risposte e non l'ho capito: il disegno che avevo fatto non mi diceva nulla, a meno di ricorrere alla Geometria Analitica; poi mercoledì ho visto le risposte di Luciano e di Rinaldo (con lo stesso disegno che avevo fatto io) e non ho capito nemmeno loro.
Con il pensiero dell'atrofia cerebrale, che mi assilla da fine maggio, ho cominciato a preoccuparmi e il problemino mi s'è infilato nel subcosciente a rodermi come il classico tarlo.
Poi m'è venuta l'idea che fosse proprio il disegno a impedirmi di capire il problema e che affrontandolo in astratto e con un disegno diverso forse me lo sarei tolto di testa.
Così ci ho provato: ho sì fatto il giro delle vigne dell'arciprete, però ottenere (e senza valori approssimati) lo stesso risultato dei due illustri e sintetici colleghi non solo m'ha tolto di testa quel pensieraccio sulle cause del non capire un esercizietto da liceo, ma m'ha dato una contentezza tale da volerla condividere, nello spirito delle festività solstiziali (Natale, Hanukkah, Sol Invictus, ...), con voi tre amici di penna su questo sito, anche se non è più interessante ai fini della domanda.
Così (peggio per voi, cavoli vostri!) qui di seguito vi propino il papiello.
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Disegno il triangolo ABV, isoscele sulla base AB, con la sua altezza VH che interseca in H' il segmento BC base minore del trapezio ABCD e che passa per il punto K d'intersezione delle diagonali AC e BD.
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Col rapporto di similitudine 0 < r = |DV|/|AV| < 1 nomino le misure dei triangoli ABV e CDV.
* L = |AV|; r*L = |DV|
* b = |AB|; r*b = |CD|
* h = |VH|; r*h = |VH'|
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Col rapporto di similitudine 0 < k = |KH'|/|KH| < 1 nomino le misure dei triangoli ABK e CDK.
* u = |KH|; k*u = |KH'|
* b = |AB|; k*b = |CD|
quindi k = r e
* u = |KH|; r*u = |KH'|
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Con tali nomi simbolici esprimo le aree d'interesse per il problema.
* S(CDV) = b*h*r^2/2
* S(CDK) = b*u*r^2/2
* S(DKCV) = S(CDV) + S(CDK) = b*(h + u)*r^2/2
* S(ABK) = b*u/2
* d = S(ABK) - S(DKCV) = (b/2)*(u - (h + u)*r^2)
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L'ultimo nome necessario per i calcoli è l'angolo α = AVB.
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Dalle relazioni
* b/2 = L*sin(α/2)
* h = L*cos(α/2)
* u + r*u = h - r*h ≡ u = ((1 - r)/(1 + r))*L*cos(α/2)
sostituendo in 'd', e semplificando, si ha la funzione che dovrebbe generare la soluzione del problema
* d(α, L, r) = ((1 - 2*r)*sin(α)/2)*L^2
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Dai dati dell'esercizio
* (L = 10 cm) & (r*L = 4 cm) ≡ r = 2/5
* α = π/2 ≡ sin(α) = 1
si calcola
* d(π/2, 10 cm, r) = ((1 - 2*2/5)*1/2)*(10 cm)^2 =
= (1/10)*100 = 10 cm^2