esercizio funzione

Dal momento che le richieste dei "punti c,d,e" sono in termini dei risultati dei "punti a, b", dire "I precedenti li ho svolti correttamente" senza dirne i risultati è solo una presa in giro: mi tocca comunque rifare tutto.
Ah, essendo io molto vecchio sono anche piuttosto all'antica e (nonostanti gli americanismi diffusisi nei libri scolastici, specie di matematica e fisica) resto convinto che il principio che "il contesto disambigua" valga in letteratura o in giurisprudenza, ma non in matematica dove invece vale quello che "simbolo è l'associazione di un solo segno con un solo significato". Pertanto il segno "esponente meno uno" lo associo esclusivamente al suo più antico significato: il reciproco o inverso di un valore rispetto a un'operazione moltiplicativa. L'inverso della funzione f(x) non è affatto la stessa cosa della funzione inversa di f(x), per cui uso il segno "inv[f(x)]".
==============================
PUNTI
------------------------------
43a) forma normale segmentaria, per ispezione.
* f(x) ≡ x/3 + y/3 = 1 ≡ y = 3 - x
43b) forma esplicita in y
* g(x) ≡ y = 4*x + 6
43c) f(x) e g(x) sono entrambe riducibili alla forma "y = a*x + b", ma è bene precisare "con a != 0".
------------------------------
a) y = a*x + b ≡ x = y/a - b/a
* inv[y = a*x + b] ≡ y = x/a - b/a
dove, per a = - 1, si ha
* inv[y = b - x] ≡ y = b - x
QED
Risultato ovviamente vero anche per b = 3.
------------------------------
b) Da "inv[y = a*x + b] ≡ y = x/a - b/a" si ha
* inv[y = 4*x + 6] ≡ y = x/4 - 3/2 ≡ x/6 + y/(- 3/2) = 1
quindi il grafico è la retta congiungente (6, 0) e (0, - 3/2).
------------------------------
c1) f◦g ≡ y = 3 - g ≡ y = 3 - (4*x + 6) ≡ y = - 4*x - 3
---------------
c2) Da "inv[y = a*x + b] ≡ y = x/a - b/a" si ha
* inv[y = - 4*x - 3] ≡ y = - (x + 3)/4
---------------
c3) Verifica fallita, vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-4*x-3%2Cy%3D%28-x-3%29%2F4%5D
------------------------------
d) h(x) = f(|x|) ≡ y = 3 - |x| ≡
≡ (x < 0) & (y = 3 + x) oppure (x = 0) & (y = 3) oppure (x > 0) & (y = 3 - x)
quindi il grafico è un "Λ" (lambda maiuscolo) con apertura ad angolo retto e vertice in (0, 3).
------------------------------
e1) f(|x|) ≡ y = 3 - |x| ≡
≡ (x < 0) & (y = 3 + x) oppure (x = 0) & (y = 3) oppure (x > 0) & (y = 3 - x)
---------------
e2) f(2*x) ≡ y = 3 - 2*x
---------------
e3) 3*g(- x) ≡ y = 3*(4*(- x) + 6) ≡ y = 6*(3 - 2*x)
---------------
e4) (f(|x|) + f(2*x))/(3*g(- x)) > 0 ≡
≡ (3 - |x| + 3 - 2*x)/(6*(3 - 2*x)) > 0 ≡
≡ (6 - x*(sgn(x) + 2))/(6*(3 - 2*x)) > 0 ≡
≡ (x != 3/2) & ((6 - x*(sgn(x) + 2))*(6*(3 - 2*x)) > 0) ≡
≡ (x != 3/2) & (2*(sgn(x) + 2)*x^2 - 3*(sgn(x) + 6)*x + 18 > 0)
--------
Sdoppiando si ha
* 2*(sgn(x) + 2)*x^2 - 3*(sgn(x) + 6)*x + 18 > 0 ≡
≡ (2*(- 1 + 2)*x^2 - 3*(- 1 + 6)*x + 18 > 0) oppure (2*(1 + 2)*x^2 - 3*(1 + 6)*x + 18 > 0) ≡
≡ (x < 3/2) oppure (x > 6) oppure (x < 3/2) oppure (x > 2) ≡
≡ (x < 3/2) oppure (x > 2)

Punto c)

f = -x + 3 ; g = 4·x + 6

fog

fog = - (4·x + 6) + 3---->fog(x) = - 4·x - 3 =fc (funzione composta)

(fog)^-1

Risolvo rispetto ad x la precedente: x = - (fc + 3)/4

cambio di variabili:

(foc)^-1= - (x + 3)/4 = fc^-1 (inverso della funzione composta)

Verifica (fog)^-1=g^-1of^-1

x = (g - 6)/4-----> g^-1 = (x - 6)/4

x = -f+3------> f^-1=-x+3

g^-1of^-1=((-x + 3) - 6)/4=- (x + 3)/4

----------------------------------------------

Funzione h

-------------------------------------

Calcolo di y = - ABS(x) + 3

equivale a scrivere:

y:

{-x+3 sex ≥ 0

{x+3 se x < 0

Calcolo di f(2x)=-2x+3

Calcolo di g(-x)=-4x+6

Quindi hai due disequazioni fratte da risolvere e poi devi considerare l'unione delle due soluzioni.

(-x + 3 + (- 2·x + 3))/(3·(- 4·x + 6)) > 0

ossia: (x - 2)/(2·(2·x - 3)) > 0 valida per x ≥ 0

(x + 3 + (- 2·x + 3))/(3·(- 4·x + 6)) > 0

ossia: (x - 6)/(6·(2·x - 3)) > 0 valida per x < 0

Quindi:

{x < 3/2 ∨ x > 2

{x ≥ 0

soluzione: [0 ≤ x < 3/2, x > 2]

{x < 3/2 ∨ x > 6

{x < 0

soluzione: [x < 0]

Uniamo le due soluzioni:

((0 ≤ x < 3/2 ∨ x > 2) ∨ x < 0) = (x < 3/2 ∨ x > 2)