esercizio fisica

Semiasse maggiore:

a= (4200+700) /2 = 2450 km

Eccentricità:

e= c/a

c= semidistanza focale = 2450-700 = 1750 km

Quindi:

e=1750/2450 = 0,714

Semiasse minore:

b= radice (a² - c²) 

b=radice (2450² - 1750²) = 1715 km

Periodo di rivoluzione: (terza Legge Keplero)

T²/a³= k = 2,96*10^(-19)  s²/m³

T= radice [k * a³] 

Energia totale:

E= Ecin + Epot

Supposta l'orbita circolare di raggio R

Epot = - GM*m/R

Ecin= (1/2)*m*v²

dove:

v=radice (G*M/R) 

A = apogeo;

Rapogeo = Rterra + 4200 km = 6380 km + 4200 km;

Rapogeo = 10580 km = 10,58 * 10^6 m;

B = perigeo;

Rperigeo  = 6380 km + 700 km;

Rperigeo = 7080 km = 7,08 * 10^6 m; distanza perigeo;

R medio = (R apogeo + R perigeo) / 2 = a,  semiasse maggiore;

R medio = 10,58 * 10^6 + 7,08 * 10^6) / 2 = 8,83 * 10^6 m; semiasse maggiore a;

nella terza legge di Keplero: T^2 / R^3 = costante;.

La Terra è in un fuoco dell'ellisse.

c = coordinata del fuoco = a -  R perigeo;

c^2 = a^2 - b^2

c = 8,83 * 10^6 - 7,08 * 10^6  = 1,75 * 10^6 m

eccentricità:

e = c/a;

e =1,75 * 10^6 / (8,83 * 10^6) = 0,20; eccentricità dell'ellisse.

se c fosse 0, avremmo i semiassi uguali,  a = b, l'ellisse sarebbe una circonferenza.

R medio = (R apogeo + R perigeo) / 2 = a,  semiasse maggiore nella terza legge di Keplero.

Terza di Keplero: R^3 / T^2 = costante ;

R = semiasse maggiore = 8,83 * 10^6 m;

dimostrazione:

G * M * m / R^2 = v^2 / R;  = orbita circolare;

(v media)^2  = G M / R;   M = massa della Terra = 5,98 * 10^24 kg;

v = 2 π R / T ;

(2 π R / T)^2 = G M / R;

4 π^2 R^2 / T^2 = G M / R;

R^3 / T^2 = G M / (4 π^2);

T^2 = R^3 * (4 π^2) / (G M);

G = 6,67 * 10^-11 N*m^2/kg^2; costante di gravitazione universale.

T^2 = (8,83 * 10^6)^3 * 4 * 3,14^2 /(6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 kg);

T^2 = 6,807 * 10^7;

T = radicequadrata(6,07 * 10^7) = 8251 s;

T (in ore) = 8251 / 3600 s = 2,3 h; (tempo per compiere una rivoluzione intorno alla Terra).

Energia = E cinetica + E potenziale;

E potenziale = - G M m / R

Energia = 1/2 m v^2 + ( - G M m / R); l'energia totale è negativa se l'orbita è chiusa.

Energia = 1/2 m G M / R - G M m / R = - 1/2 G M m / R;

M = 5,98 * 10^24 kg; m = 89 kg;

E totale = - 1/2 * 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 * 89 / (8,83* 10^6 );

E totale = - 2,0 * 10^9 J.

Se l'energia diventasse positiva, (velocità molto elevata, velocità di fuga), il satellite seguirebbe una traiettoria aperta (parabolica o iperbolica e si allontanerebbe dalla Terra).

@giorgio_gino  ciao.