[Risolto] esercizio fisica

Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
==============================
* V = incognita
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* h = 75 cm = 3/4 m
* θ = 45°
* sin(θ) = cos(θ) = 1/√2
* d = 6.1 = 61/10 m
* h' = 120 cm = 6/5 m
* x(t) = V*cos(θ)*t = (V/√2)*t ≡ t = (√2/V)*x
* y(t) = 3/4 + (V/√2 - (196133/40000)*(√2/V)*x)*(√2/V)*x ≡
≡ p(x) = y = - (196133/(20000*V^2))*x^2 + x + 3/4
------------------------------
"Il minimo valore di V ... affinché oltrepassi la rete è:"
* (p(d) >= h') & (V > 0) ≡
≡ (- (196133/(20000*V^2))*(61/10)^2 + 61/10 + 3/4 >= 6/5) & (V > 0) ≡
≡ (- (196133/(20000*V^2))*(61/10)^2 + 61/10 + 3/4 - 6/5 >= 0) & (V > 0) ≡
≡ (- (729810893/(2000000*V^2)) + 113/20 >= 0) & (V > 0) ≡
≡ (11300000*V^2 >= 729810893) & (V > 0) ≡
≡ V >= √(729810893/11300000) ~= 8.036481492466779 ~= 8.0365 m/s
NOTA
"oltrepassi la rete" è più permissivo di "oltrepassi liberamente la rete"
* per V = √(729810893/11300000) la palla fa cordino e ricade al di là
* per V > √(729810893/11300000) la palla oltrepassa liberamente e prosegue la parabola

Vo>8,04 ms^(-1)

Una pallina viene lanciata da un’altezza ho di 75 cm dal suolo con velocità di modulo Vo formante un angolo Θo di 45° sopra la direzione orizzontale. Alla distanza orizzontale d di 6,1 metri dal punto di lancio è presente una rete alta 120 cm. Il minimo valore di Vo con la quale deve essere lanciata la pallina affinché superi la rete è:

Devono essere rispettate due condizioni : la pallina deve trovarsi più alta di 120-75  = 45 cm rispetto al punto di lancio ed aver contemporaneamente coperta una distanza orizzontale d = 6,1 m ; per far ciò si mettono a sistema le equazioni dei moti orizzontale e verticale imponendo l'uguaglianza del tempo t  che, per comodità,  si ricava dal moto orizzontale

equazione del moto orizzontale :

d = Vo*cos Θo*t

tempo t = 6,1/(Vo*0,707)  s 

equazione del moto orizzontale :

h-ho = Vo*sin Θo*t-g/2*t^2

1,20-0,75 = Vo*0,707*6,1/(Vo*0,707) - 4,903*6,1^2/(0,5Vo^2)

0,45 = 6,1-365/Vo^2

365/Vo^2 = 5,65 

Vo = √365/5,65 = 8,036 m/s