[Risolto] Esercizio fascio di rette

@aldo0

Ciao e benvenuto. Vediamo un altro metodo.

Equazione data nella forma implicita. Riconosco il centro C ed il raggio:

C(1/2,-1/2) ed  il raggio r = √(1/4 + 1/4 + 2)----->r = √10/2

La misura di metà corda è: √5/2

Considero ora una circonferenza concentrica tale per cui risulti tangente ad una delle due corde.

Con il Teorema di Pitagora determino la distanza della circonferenza concentrica dalla corda in esame:

√((√10/2)^2 - (√5/2)^2) = √5/2

Quindi riconosco la circonferenza contenuta in quella data:

(x - 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 = (√5/2)^2

i passaggi li lascio a te:

4·x^2 + 4·y^2 - 4·x + 4·y - 3 = 0

La metto a sistema con il fascio improprio di rette dato:

{4·x^2 + 4·y^2 - 4·x + 4·y - 3 = 0

{y = - 2·x + k

Lo risolvo con il metodo della sostituzione:

4·x^2 + 4·(- 2·x + k)^2 - 4·x + 4·(- 2·x + k) - 3 = 0

20·x^2 - 4·x·(4·k + 3) + (4·k^2 + 4·k - 3 )= 0

Applico le condizioni di tangenza:

Δ/4 = 0

(64·k^2 + 96·k + 36) - (80·k^2 + 80·k - 60) = 0

- 16·k^2 + 16·k + 96 = 0

k^2 - k - 6 = 0

(k + 2)·(k - 3) = 0  ----->  k = 3 ∨ k = -2

rette tangenti:

y = - 2·x + 3

y = - 2·x - 2

Scriviamo la risolvente del sistema retta - circonferenza
per sostituzione

x^2 + (-2x + k)^2 - x - 2x + k - 2 = 0

x^2 + 4x^2 - 4kx + k^2 - 3x + k - 2 = 0

5x^2 - (4k + 3) x + k^2 + k - 2 = 0

La lunghezza della corda intercettata é data da

L = |xB - xA| * sqrt(1 + m^2)

in cui |xB - xA| = sqrt(D)/|A|

Nel nostro caso, essendo A = 5 e

D = B^2 - 4AC = (4k + 3)^2 - 4*5(k^2 + k - 2 )

16 k^2 - 20 k^2 + 24 k + 9 - 20 k + 40 =

= -4k^2 + 4k + 49

sqrt (-4k^2 - 44k + 49)/5 * sqrt (5) = sqrt(5)

- 4k^2 + 4k + 49 = 25

4k^2 - 4k - 24 = 0

k^2 - k - 6 = 0

k^2 - 3k + 2k - 6 = 0

k(k - 3) + 2(k - 3) = 0

(k + 2) (k- 3) = 0

k = -2 V k = 3

y = - 2x - 2 e y = -2 x + 3 sono le equazioni delle

rette richieste. So che sono esatte perché ho svolto il problema
con un altro metodo e si trova.