Trovare tutte le $x$ reali che soddisfano l'equazione:
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x}$$
Trovare tutte le $x$ reali che soddisfano l'equazione:
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x}$$
Ciao,
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x} \implies \frac{2x+3}{x^2+3x+2} = \frac{1}{x} \implies 2x^2 + 3x = x^2 +3x+ 2.$$
Semplificando ottieni: $x^2=2$
Quindi la soluzione è $x=\pm\sqrt{2}$
Ciao,
Per prima cosa dobbiamo determinare le condizioni di esistenza delle soluzioni e imponiamo che i denominatori non si annullino
$\begin{cases}x+1\neq 0\\x+2\neq0 \\ x\neq 0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x\neq -1\\x\neq-2 \\ x\neq 0\end{cases}$
Le CE si impongono di escludere tre valori:
$ x\neq-1, x\neq-2, x\neq-0$
Portiamo ora tutto a primo membro:
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x}=0$
Calcoliamo il denominatore comune in modo da portarci alla forma $ \frac{N(x)}{D(x)}=0$ :
$\frac{x(x+2)+x(x+1)-(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)}=0$
$ \frac{x^2+2x+x^2+x-(x^2+2x+x+2)}{x(x+1)(x+2)}=0$
$ \frac{2x^2+3x+-x^2-3x-2}{x(x+1)(x+2)}=0$
$ \frac{x^2-21}{x(x+1)(x+2)}=0$
Le condizioni di esistenza ci permettono di eliminare il denominatore e di rifurci a un'equazione di secondo grado:
$x^2-2=0$
$x^2=2$
$x_{1,2}=\pm \sqrt{2}$
Poiché le due candidate soluzioni non vengono escluse dalle CE, concludiamo che esse sono accettabili e dunque effettivamente soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado.
saluti 🙂
(x+1)+(x+2)/(x^2+3x+2) = 1/x
x(2x+3) = (x^2+3x+2)
2x^2-x^2 = 2 (3x si semplifica)
x = ±√2