[Risolto] esercizio duplicazione seno coseno

"NON SO DA DOVE INIZIARE"
Ogni volta che non si sa da dove iniziare è buona regola iniziare dal risultato richiesto: valutare sin(α + β).
Se ne scrive l'espressione
* sin(α + β) = cos(β)*sin(α) + cos(α)*sin(β)
spezzando così un problema difficile (se non lo fosse stato si sarebbe saputo da dove iniziare, no?) in quattro problemi sicuramente meno difficili: valutare sin(α), cos(α), sin(β), cos(β).
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"NON CAPISCO COME USARE I DATI"
I dati si usano per risolvere i problemi semplificati.
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1) valutare sin(β): immediato, è un dato.
* (sin(β) = 5/13) & (π/2 < β < π)
cioè: β è nel secondo quadrante ed ha seno positivo e coseno negativo.
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2) valutare cos(β): non proprio immediato, ma quasi. Dalla relazione fondamentale
* sin^2(β) + cos^2(β) = 1
si ricava
* cos(β) = ± √(1 - sin^2(β)) = ± √(1 - (5/13)^2) = ± 12/13
e, dall'ultima osservazione del punto uno, si conclude che
* cos(β) = - 12/13
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3&4) valutare sin(α) e cos(α): come al punto due, si tratta di esprimere ciò che serve (seno e coseno) in funzione di ciò che si sa (tangente e quadrante)
* (tg(α) = 3/4) & (π < α < 3*π/2)
cioè: α è nel terzo quadrante ed ha seno e coseno tutt'e due negativi.
Qui puoi usare due metodi.
Se hai fatto un sacco di esercizi sul Teorema di Pitagora riconoscerai dal valore "tg(α) = 3/4" il rapporto fra i cateti della terna pitagorica (3, 4, 5) e scriverai subito che
* sin(α) = ± 3/5
* cos(α) = ± 4/5
altrimenti dalla tavola che riporta le espressioni delle funzioni d'arco una in funzione delle altre prenderai e svilupperai le espressioni di seno e coseno in funzione di tangente
* sin(α) = ± tg(α)/√(tg^2(α) + 1) = ± (3/4)/√((3/4)^2 + 1) = ± 3/5
* cos(α) = ± 1/√(tg^2(α) + 1) = ± 1/√((3/4)^2 + 1) = ± 4/5
Qual che sia stato il metodo usato, il dato sul quadrante consente di concludere che
* sin(α) = - 3/5
* cos(α) = - 4/5
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Avendo così risolto i problemi di valutare sin(α), cos(α), sin(β), cos(β) se ne usano i valori risultati per valutare sin(α + β)
* sin(α + β) = cos(β)*sin(α) + cos(α)*sin(β) =
= (- 12/13)*(- 3/5) + (- 4/5)*(5/13) = 16/65
che è proprio il risultato atteso.

TAN(α) = 3/4

pi < α < 3/2·pi  Angolo 3° Quadrante

SIN(β) = 5/13

pi/2 < β < pi  Angolo del 2° Quadrante

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SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)

SIN(α) = - 3/5; COS(α) = - 4/5

SIN(β) = 5/13; COS(β) = - 12/13

Quindi:

SIN(α + β) = (- 3/5)·(- 12/13) + 5/13·(- 4/5)

SIN(α + β) = 36/65 + (- 4/13)

SIN(α + β) = 16/65