Esercizio dimostrazioneee

2. Controesempio.

Poniamo

S = {0, 1}  ⇒ P(S) = {Ø, {0},{1},{0, 1}}

T = {1, 2}  ⇒ P(T) = {Ø, {1},{2},{1, 2}}

S U T = {0, 1, 2}

ne consegue che 

P(S) U P(T) = {Ø, {0},{1},{2},{0, 1}, {1, 2}}

mentre 

P(S U T) = {Ø, {0},{1},{2},{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1,2}}}

nota. Anche la cardinalità è diversa.

.

3. P(S) U P(T) ⊆ P(S U T)

Consideriamo 3 casi

1° caso

Caso Banale. S = T

In questo caso P(S) = P(T)

P(S) U P(T) = P(S) = P(S U T)

2° caso

Caso semi-banale. wlog S ⊂ T 

In questo caso P(S) ⊂ P(T)

P(S) U P(T) = P(T) = P(S U T)

3° caso

In questo caso $ S \not\subset T \; \land \; T \not\subset S$

In altre parole $ \exists a \in S | a \not\in T \; \land \; \exists b \in T | b \not\in S $.

Per quanto detto in precedenza le varie combinazione degli elementi in comune agli insiemi S e T oppure appartenenti ad uno dei due insiemi, compariranno sia in P(S) U P(T) che in P(S U T). Tutte le combinazioni degli elementi di tipo (a, b) non potranno comparire in P(S) U P(T) ma compariranno in P(S U T). Esempio il termine {a, b}.

Quest'ultima più che una dimostrazione è una base per una dimostrazione; se necessario si tratta di formalizzarla.