[Risolto] Esercizio di verifica delle competenze

Il mio diploma di maturità di anni ne ha quasi 67 (fu nel 1957), e sono ancora qui.
Non posseggo il libro "Matematica.blu 2.0" però mi fido della tua trascrizione; anzi, la ritengo di così gradevole lettura e copia che ti clicko un cuoricino in segno di gratitudine per non averci messo superflui inserti LaTeχ!
Circa il "come risolvere quest'esercizio" dirò una banalità: un problema per volta, prima il luogo, poi il rettangolo,
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Il luogo
La consegna «...; poi, inscrivi nell'ellisse ...» già dice che il luogo richiesto è un'ellisse, cosa che si poteva dedurre dalla specificazione; se il rapporto delle distanze da fuoco e direttrice è positivo e minore di uno, la conica è un'ellisse.
Non ho idea se il tuo libro abbia la seguente definizione di conica, che cito pari pari dall'articolo di Roberto Bigoni
http://www.robertobigoni.it/Matematica/Coniche/coniche.htm
«Dati in un piano una retta d e un punto F esterno a d e distante f da d, si dice conica l'insieme dei punti P del piano tali che, detta H la loro proiezione ortogonale su d, il rapporto PF/PH abbia valore costante e (e > 0).
La retta d è detta direttrice della conica e il punto F è detto fuoco della conica.
Il rapporto e è detto eccentricità della conica.»
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Le distanze del generico punto P(x, y)
* dal fuoco F(3, 0): |PF| = √((x - 3)^2 + y^2)
* dalla direttrice d ≡ x = 25/3: |Pd| = |x - 25/3|
devono essere nel rapporto d'eccentricità e = 3/5
* √((x - 3)^2 + y^2)/|x - 25/3| = 3/5 ≡
≡ √((x - 3)^2 + y^2) = (3/5)*|x - 25/3| ≡
≡ (x - 3)^2 + y^2 = ((3/5)*|x - 25/3|)^2 ≡
≡ (x - 3)^2 + y^2 - ((3/5)*|x - 25/3|)^2 = 0 ≡
≡ 16*x^2 + 25*y^2 - 400 = 0 ≡
≡ (4*x)^2 + (5*y)^2 = 20^2 ≡
≡ (4*x/20)^2 + (5*y/20)^2 = 1 ≡
≡ (x/5)^2 + (y/4)^2 = 1
Quindi il luogo richiesto è un'ellisse riferita ai suoi assi con semiassi (a, b) = (5, 4).
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Il rettangolo
Ogni rettangolo inscritto in un'ellisse ha, rispetto ai suoi assi, i vertici in simmetria quadrantale. Se l'ellisse è riferita ai suoi assi allora i vertici sono le intersezioni fra la curva e due rette per l'origine di pendenze opposte. Stante la detta simmetria il perimetro p è il quadruplo della somma fra le coordinate dell'intersezione C nel primo quadrante.
* (y = k*x) & ((x/5)^2 + (y/4)^2 = 1) ≡ C(20/√(25*k^2 + 16), 20*k/√(25*k^2 + 16))
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* (p = 4*(20/√(25*k^2 + 16) + 20*k/√(25*k^2 + 16)) = 124/5) & (k > 0) ≡
≡ (k = 336/935 ~= 0.36) oppure (k = 16/15 = 1.0(6))
da cui due legittime soluzioni (il risultato atteso unico è errato, come spesso accade nei testi scolastici).
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Soluzione per k = 336/935
* (y = (336/935)*x) & ((x/5)^2 + (y/4)^2 = 1) ≡ A(- 187/41, - 336/205) oppure C(187/41, 336/205)
* (y = - (336/935)*x) & ((x/5)^2 + (y/4)^2 = 1) ≡ D(- 187/41, 336/205) oppure B(187/41, - 336/205)
Vedi le intersezioni al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F5%29%5E2%3D1-%28y%2F4%29%5E2%2Cy%5E2%3D%28112896%2F874225%29*x%5E2%5D
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Soluzione per k = 16/15
* (y = (16/15)*x) & ((x/5)^2 + (y/4)^2 = 1) ≡ A(- 3, - 16/5) oppure C(3, 16/5)
* (y = - (16/15)*x) & ((x/5)^2 + (y/4)^2 = 1) ≡ D(- 3, 16/5) oppure B(3, - 16/5)
Vedi le intersezioni al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F5%29%5E2%3D1-%28y%2F4%29%5E2%2Cy%5E2%3D%28256%2F225%29*x%5E2%5D

Caspiterina: se ti cimenti dopo 40 anni a fare questi esercizi... Che ti devo dire?

P[x, y] sono le coordinate del luogo geometrico cercato

PF=√((x - 3)^2 + (y - 0)^2) = √(x^2 - 6·x + y^2 + 9)

ABS(x - 25/3) = d

Distanza del punto P dalla retta verticale x=25/3

Quindi il rapporto deve essere:

√(x^2 - 6·x + y^2 + 9)/ABS(x - 25/3) = 3/5

elevo al quadrato:

9·(x^2 - 6·x + y^2 + 9)/(3·x - 25)^2 = 9/25

(x^2 - 6·x + y^2 + 9)·25 = (3·x - 25)^2

25·x^2 - 150·x + 25·y^2 + 225 = 9·x^2 - 150·x + 625

16·x^2 + 25·y^2 = 400

x^2/25 + y^2/16 = 1

Risolvo rispetto ad y:

y = - 4·√(25 - x^2)/5 ∨ y = 4·√(25 - x^2)/5

Faccio riferimento alla funzione in grassetto

[x, 4·√(25 - x^2)/5] è un suo punto generico

Deve risultare:

2·(2·ABS(x) + 2·4·√(25 - x^2)/5) = 124/5

è il perimetro del rettangolo inscritto richiesto.

4·ABS(x) + 16·√(25 - x^2)/5 = 124/5

16·√(25 - x^2)/5 = 124/5 - 4·ABS(x)

16·√(25 - x^2) = 124 - 20·ABS(x)

Libero il modulo ed ho due sistemi da risolvere:

{16·√(25 - x^2) = 124 - 20·x

{x ≥ 0

è il primo sistema

{16·√(25 - x^2) = 124 + 20·x

{x < 0

è il secondo sistema

Dal primo ottieni (elevi al quadrato: lo fai tu che sei bravo!)

[x = 3, x = 187/41]

Dal secondo ottieni:

[x = - 187/41, x = -3]

Quindi in definitiva 4 soluzioni:

A(3; 16/5), B (-3; 16/5), C(187/41; 336/205), D(-187/41; -336/205)

(fai la sostituzione degli "x" trovati nelle due funzioni irrazionali scritte su in alto)

Ciao. Buon divertimento!

Ricerca del luogo geometrico

Se (x,y) é un punto di questo luogo

PF^2 = (x - 3)^2 + y^2

Pd^2 = (x - 25/3)^2

PF^2 = (3/5)^2 Pd^2

(x - 3)^2 + y^2 = 9/25 ( x^2 - 50/3 x + 625/9)

x^2 - 6x + 9 + y^2 = 9/25 x^2 - 6x + 25

16/25 x^2 + y^2 = 25 - 9

x^2/25 + y^2/16 = 1

Per la seconda parte

I calcoli sono lunghi, ora lo imposto e magari lo completi tu.

Metto l'ellisse a sistema con la retta orizzontale di equazione y = k

con 0 <= k <= 4

x^2/25 = 1 - k^2/16

x = +- 5 rad (1 - k^2/16)

20 rad (1 - k^2/16) + 2*2k = 124/5

5 rad (1 - k^2/16) = 31/5 - k

Osservato che la condizione di positività é verificata

( 0 <= k <= 4 =>   k < 31/5 )

se eleva al quadrato e si riordina

25 ( 1 - k^2/16 ) = 961/25 - 62/5 k + k^2

25 - 25 k^2/16 = 961/25 - 62/5 k + k^2

41/16 k^2 - 62/5 k + 336/25 = 0

k = (31/5 +- rad (961/25 - 41*336/400)) : 41/16 =

= 16/41 * (31/5 +- rad (1600/400)) =

= 16/41 * (31/5 +- 2 ) =

= 16/41 * (31+-10)/5 = 336/205 oppure 16/5

da qui si ricava pertanto x = +- 5 rad (1 - k^2/16)

e, lascio il calcolo a te,

k = 16/5 =>   x = +-3

k = 336/205 =>  x = +- 187/41