Un concorso pubblico prevede lo svolgimento di due prove di esame, la prima scritta e la seconda orale, ciascuna composta da quattro quesiti. Ciascuna delle due prove si considera superata se il candidato risponde correttamente ad almeno tre quesiti dei quattro proposti. La probabilità di rispondere correttamente ad un quesito scritto è pari a $p_{\mathrm{s}} \in(0,1)$ e la probabilità di rispondere correttamente ad un quesito orale è pari a $p_0 \in(0,1)$. Tutti eventi di corretta risposta sono mutuamente indipendenti e l'accesso alla prova orale è subordinato al superamento della prova scritta.
a. Si calcoli la probabilità di rispondere correttamente a tutti e quattro i quesiti della prova scritta.
b. Si calcoli la probabilità di superare la prova scritta.
c. Sapendo che la prova scritta è stata superata, si calcoli la probabilità di aver risposto correttamente a tutti e quattro i quesiti della prova scritta.
d. Si calcoli la probabilità di superare la prova orale. Si approssimi tale probabilità nei due seguenti casi, commentando brevemente i risultati.
- caso 1: $p_{\mathrm{o}}=p_{\mathrm{s}}$ e $p_{\mathrm{s}} \ll 1$;
- caso 2: $\quad\left(1-p_{\mathrm{s}}\right) \ll 1$, in modo che si possa usare l'approssimazione $p_{\mathrm{s}}^k \approx 1-k\left(1-p_{\mathrm{s}}\right)$ per $k=2,3, \ldots$
Volevo sapere se stavo facendo bene bene questo esercizio? Se si ,ho due dubbi al posto di p che devo mettere ½? E la c si fa come la uno? Oppure devo trovarmi prima la probabilità di aver fatto 4/4 all orale e poi fare la probabilità condizionata cioè la prob di passare l orale dipende da quella di passare lo scritto?
