Esercizio di matematica sulle parabole

x = y^2/4

x = y^2/2 - 2

parabole ad asse orizzontale coincidente con l'asse delle ascisse x=0.

Per la simmetria del problema, avremo due rette tangenti comuni alle due parabole che si intersecheranno sicuramente sull'asse delle x per cui cerchiamo le due rette facendo riferimento ad un punto [α, 0] che sarà il punto proprio del fascio di rette possibili da cui partiranno le due tangenti.

Quindi metto a sistema tale fascio con le due parabole separatamente:

{y = m·(x - α)

{x = y^2/4

procedo con sostituzione:

x = (m·(x - α))^2/4

x = m^2·x^2/4 - m^2·α·x/2 + m^2·α^2/4

m^2·x^2/4 - m^2·α·x/2 + m^2·α^2/4 - x = 0

(m^2·x^2 - 2·x·(m^2·α + 2) + m^2·α^2)/4 = 0

m^2·x^2 - 2·x·(m^2·α + 2) + m^2·α^2 = 0

Analogamente:

{y = m·(x - α)

{x = y^2/2 - 2

x = (m·(x - α))^2/2 - 2

(m·(x - α))^2/2 - 2 - x = 0

(m^2·x^2 - 2·x·(m^2·α + 1) + m^2·α^2 - 4)/2 = 0

m^2·x^2 - 2·x·(m^2·α + 1) + (m^2·α^2 - 4) = 0

Applico la condizione di tangenza per ognuna delle due equazioni di secondo grado trovate (in grassetto)

{(m^2·α + 1)^2 - m^2·(m^2·α^2 - 4) = 0

{(m^2·α + 2)^2 - m^2·(m^2·α^2) = 0

semplificando:

{2·m^2·α + 4·m^2 = -1

{4·m^2·α + 4 = 0

posto: m^2 = w

{2·w·α + 4·w = -1

{4·w·α + 4 = 0

risolvo:    w = 1/4 ∧ α = -4

Quindi le due rette:

y = - 1/2·(x + 4)

y = 1/2·(x + 4)

Ti clicko un cuoricino per aver tentato di mettere un titolo significativo e soprattutto per aver scritto "dovrebbero"; il titolo è fuori tema: l'esercizio non è "sulle parabole", ma "sulle tangenti alle coniche" (le curve da tangere sarebbero potute essere ellissi, e non sarebbe cambiato nulla!).
Una retta tange una conica se e solo se la risolvente del loro sistema ha discriminante nullo.
La generica retta del piano è
* (x = k) oppure (y = m*x + q)
le due parabole date
* Γ1 ≡ x = y^2/4
* Γ2 ≡ x = y^2/2 - 2
avendo gli assi di simmetria paralleli all'asse x possono avere tangenti parallele all'asse y solo nei vertici V1(0, 0) e V2(- 2, 0); ma, essendo questi ad ascisse diverse, non esistono tangenti comuni di forma "x = k".
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A) (y = m*x + q) & (x = y^2/4) → Δ = 1 - m*q = 0
B) (y = m*x + q) & (x = y^2/2 - 2) → Δ = 4*m^2 - 2*m*q + 1 = 0
C) (1 - m*q = 0) & (4*m^2 - 2*m*q + 1 = 0) ≡
≡ (m = - 1/2) & (q = - 2) oppure (m = 1/2) & (q = 2)
da cui
* t1 ≡ y = - x/2 - 2
* t2 ≡ y = x/2 + 2
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y%5E2%2F4-x%29*%28y%5E2%2F2-2-x%29%3D0%2C%28-x%2F2-2-y%29*%28x%2F2--2-y%29%3D0%5D