[Risolto] esercizio di matematica n. 2, potete aiutarmi a svolgerlo?

a.  

• Classificazione. Si tratta di una funzione irrazionale.
• Dominio.
  • • 1/x   ⇒  x ≠ 0
    • 1/√(x² - 4)  ⇒ x² > 4 ⇒ x < -2  V  x > 2

Dominio = (-∞, -2) U (2, +∞)

b.  

• Pari o dispari (o nessuna delle due)

Si considera f(-x) e si verifica se è eguale a -f(x) [pari], f(-x) [dispari], altro

$ f(-x) = \frac {|-x|-3}{-x\sqrt{(-x)^2-4}} = \frac {|x|-3}{-x\sqrt{(x)^2-4}} = -\frac {|x|-3}{x\sqrt{(x)^2-4}} = - f(x) $ 

f(x) è una funzione dispari.

c.

• Zeri.

Risolviamo l'equazione f(x) = 0

$ \frac {|x|-3}{x\sqrt{(x)^2-4}} = 0 $

$ |x|-3 = 0$

$ x = \pm 3$

I punti di zero sono due, $x_1 = -3 \,\, \cup \,\, x_2 = 3$

• Segno f(x)

______-3____-2________2_____3____

+++++0----------------------------0++++  (|x|-3)

------------------------0++++++++++++   x

.....................XXXXXXXX....................   √(x² - 4)

--------0++++XXXXXXXX---------0++++  Sgn(f(x))

• • • f(x) = 0 per x=±3
    • f(x) < 0 in (-∞, -3) U (2, 3)
    • f(x) > 0 in (-3, -2) U (3, +∞)

a supporto ecco il grafico.

X*1,1*0,9 = 0,99x

X*0,9*1,1 = 0,99x

...no difference 

* f(x) = y = (|x| - 3)/(x*√(x^2 - 4))
quesito a
classifica: irrazionale, fratta, reale per |x| > 2, discontinua nell'origine.
dominio: l'intero asse reale x
codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
insieme di definizione: x*√(x^2 - 4) != 0 ≡ x ∉ {- 2, 0, 2}
insieme di definizione reale: |x| > 2
quesito b
* f(- x) = y = (|- x| - 3)/(- x*√(x^2 - 4))
* - f(- x) = y = (3 - |- x|)/(- x*√(x^2 - 4))
* f(x) = f(- x) ≡
≡ (|x| - 3)/(x*√(x^2 - 4)) = (|- x| - 3)/(- x*√(x^2 - 4)) ≡ x = ± 3
* f(x) = - f(- x) ≡
≡ (|x| - 3)/(x*√(x^2 - 4)) = (3 - |- x|)/(- x*√(x^2 - 4)) ≡ ∀ x ∈ R ≡ f(x) è dispari.
quesito c
zeri: in x = ± 3, ovviamente.
segno:
* per x < - 3, f(x) è negativa
* per x = - 3, f(x) è zero
* per - 3 < x < - 2, f(x) è positiva
* per - 2 <= x <= 2, f(x) è complessa
* per 2 < x < 3, f(x) è negativa
* per x = 3, f(x) è zero
* per x > 3, f(x) è positiva
localizzazione:
* un ramo nel semipiani x < - 2
* un ramo nel semipiani x < + 2