Determina i tre numeri reali positivi $a, b$ e $c$ conle seguenti proprietà:
a. il numero $b$ supera il numero $a$ di una unità e il numero $c$ supera il numero $b$ di una unità;
b. il reciproco del più piccolo fra $a, b$ e $c$ è uguale alla somma dei reciproci degli altri due numeri.
$$
[a=\sqrt{2} ; b=\sqrt{2}+1 ; c=\sqrt{2}+2]
$$
Esercizio sulle equazioni di secondo grado. Se qualcuno riesce a fare tutti i passaggi mi sarebbe di grande aiuto. (Es 660)
Grazie mille
9
punti
Livello 0
Direi che classificare l'esercizio 660 come "Esercizio sulle equazioni di secondo grado" sia impreciso o, quanto meno, sia un grossolano understatement; il secondo grado si vede solo sulla risolvente finale.
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La consegna "a" dà luogo a un sistema lineare
A) (b = a + 1) & (c = b + 1) & (a > 0) & (b > 0) & (c > 0) ≡
≡ (b = a + 1) & (c = a + 2) & (c > b > a > 0)
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La consegna "b", riferendosi a min[{a, b, c}] = a, dà luogo a un'equazione razionale fratta
B) 1/a = 1/b + 1/c ≡ 1/b + 1/c - 1/a = 0 ≡ (a*b + a*c - b*c)/(a*b*c) = 0
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Il sistema
* B & A ≡ ((a*b + a*c - b*c)/(a*b*c) = 0) & (b = a + 1) & (c = a + 2) & (c > b > a > 0)
essendo
* ((a*b + a*c - b*c)/(a*b*c) = 0) & (c > b > a > 0) ≡
≡ (a*b + a*c - b*c = 0) & (a > 0)
s'è ridotto ad essere di secondo grado moltiplicando membro a membro per a*b*c > 0; quindi sostituendo si ha
* B & A ≡ (a*b + a*c - b*c = 0) & (b = a + 1) & (c = a + 2) & (a > 0)
che, per sostituzione, dà infine come risolvente la desiata equazione di secondo grado
* (a*(a + 1) + a*(a + 2) - (a + 1)*(a + 2) = 0) & (a > 0) ≡
≡ ((a + √2)*(a - √2) = 0) & (a > 0) ≡
≡ ((a = - √2) oppure (a = √2)) & (a > 0) ≡
≡ a = √2
da cui
* b = a + 1 = √2 + 1
* c = a + 2 = √2 + 2
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Genius I
@exprof 👌👍👍
a ; a+1 ; a+2
1/a = 1/(a+1) +1/(a+2)
1/a = (a+2+a+1)/(a^2+3a+2)
a^2+3a+2 = 2a^2+3a
a^2= 2
a = √2
b = √2 +1
c = √2 +2
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Genius II
a b=a+1 c=b+1 1/a=1/b+1/c 1/a=1/(a+1)+1/(a+2) risolvo a^2=2 a=radquad 2
b=radquad 2+1 c=radquad 2+2
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Livello 7
