ESERCIZIO DI MATEMATICA

Studiamo per quali valori il denominatore si annulla:

$ \sqrt{x+7}-3=0$

$ \sqrt{x+7} = 3$

elevando ambo i membri:

$ x+7 = 9$

$ x = 2$

Il punto $x=2$ è un punto di discontinuità. Per verificare di quale tipo, procediamo con il calcolo del limite destro e sinistro:

$ lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} = \frac{[0]}{[0]}$

Sostituendo ottieni una forma indeterminata che possiamo risolvere razionalizzando il denominatore: 

$ lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} \cdot \frac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3}$

$ lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{x+7-9}$

$ lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{x-2}$

Semplificando:

$ lim_{x\rightarrow 2^-} (\sqrt{x+7}+3) = \sqrt{2+7}+3 = 6$

Puoi notare facilmente che nel calcolare il limite destro i calcoli sono del tutto analoghi per cui evito di riscriverli:

$ lim_{x\rightarrow 2^+} \frac{x-2}{\sqrt{x+7}-3} = 6$

Abbiamo dunque che $lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)= lim_{x\rightarrow 2^+} f(x)=6$ però $f(2)=[0]/[0]$ e dunque non è definita.

Possiamo dunque concludere che si tratta di una discontinuità eliminabile.

Noemi

Ma certo! Ci sono zero passi: il dominio della funzione si dichiara, non si calcola.
Dominio è il prodotto cartesiano degl'insiemi su cui variano le variabili indipendenti.
Nella
* f(x) = y = (x - 2)/(√(x + 7) - 3)
la variabile indipendente è una sola: la x.
Il dominio D di f(x) è l'insieme su cui varia x: D ∈ {N, N0, Z, Q, C, ...}.
Ma f(x), in quanto funzione fratta, è indefinita là dove il denominatore si annulla: x = 2.
L'insieme di definizione è quindi D\{2}: ciò che resta del dominio tolto l'insieme di non definizione.
Se D ∈ {N, N0} allora il codominio è l'intero asse reale y e l'insieme immagine è la semiretta y >= 3.
Se D ∈ {Z, Q, C, ...} allora il codominio è l'intero piano C di Argand-Gauss e l'insieme immagine è C\{x = 0}.
In tale secondo caso interessa l'insieme di definizione reale
* Im[f(x)] = 0 ≡ (- 7 <= x < 2) oppure (x > 2)
-----------------------------
Poiché
* lim_(x → 2) f(x) = 6
si può definire per distinzione di casi il prolungamento continuo di f(x)
* F(x) = (x != 2) & (y = (x - 2)/(√(x + 7) - 3)) oppure (x = 2) & (y = 6)