Esercizio di goniometria con formule parametriche

Assumo che t sia tg (a/2) 

In questo caso conviene sostituire 

sin^2(a/2) = t^2/(1 + t^2)   e cos^2 (a/2) = 1/(1+t^2) 

e otteniamo quindi 

( t^2/(1+t^2) + 1 )/(4 - 1/(1+t^2) ) - 1/2 = 

= (2t^2 + 1)/(3 + 4t^2) - 1/2 = 

= (4t^2 + 2 - 3 - 4t^2)/(2*(3 + 4t^2)) = 

= -1/(8t^2 + 6)

"non è il risultato corretto penso"
Ho l'impressione d'averti già segnalato WolframAlpha come software per verificare la correttezza o meno dei passaggi algebrici, ma se non l'avevo fatto lo faccio ora.
L'unico inciampo (per come scrivi tu) è che per usarlo devi rassegnarti a formulare le espressioni usando le parentesi necessarie e gli operatori convenzionali.
Se il passaggio è corretto allora semplificando la differenza fra l'espressione originale e quella trasformata si deve ottenere zero.
espressione originale: (sin^2(x/2) + 1)/(4 - cos^2(x/2)) - 1/2
espressione trasformata: -(cos² x/2) / 2(4-cos² x/2)
differenza: (sin^2(x/2) + 1)/(4 - cos^2(x/2)) - 1/2 - (-(cos² x/2) / 2(4-cos² x/2))
e questa è tutt'altro che zero
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%28sin%5E2%28x%2F2%29--1%29%2F%284-cos%5E2%28x%2F2%29%29-1%2F2-%28-%28cos%C2%B2x%2F2%29%2F2%284-cos%C2%B2x%2F2%29%29
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Ci riprovo intervenendo sulla tua sintassi.
espressione trasformata: - cos^2(x/2)/(2*(4 - cos^2(x/2)))
differenza: (sin^2(x/2) + 1)/(4 - cos^2(x/2)) - 1/2 - (- cos^2(x/2)/(2*(4 - cos^2(x/2))))
e così, scritto per bene, fa zero eccome
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%28sin%5E2%28x%2F2%29--1%29%2F%284-cos%5E2%28x%2F2%29%29-1%2F2-%28-cos%5E2%28x%2F2%29%2F%282*%284-cos%5E2%28x%2F2%29%29%29%29
quindi puoi smettere di pensare che non sia "il risultato corretto" per due ottimi motivi.
1) WolframAlpha ti assicura che è UN risultato corretto.
2) IL risultato corretto NON ESISTE al singolare con articolo IL: ogni espressione equivalente è un risultato corretto.
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Se scrivendo "il risultato corretto" intendevi "il risultato atteso", allora t'ha già risposto @EidosM