[Risolto] Esercizio di goniometria

@studentemat

Ciao benvenuto. Un invito a leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Non si capisce la disequazione: (cos) /2 + 2sinx +1/2 >0 ?

Intendevi scrivere COS(x)/2 + 2·SIN(x) + 1/2 > 0 ?

Procedo scrivendo la disequazione  COS(x) + 4·SIN(x) + 1 > 0 

come COS(α) + 4·SIN(α) + 1 > 0

Quindi considero il sistema:

{x + 4·y + 1 > 0

{x^2 + y^2 = 1

che risolvo per via grafica:

Dico quindi che la soluzione del sistema sono tutti i punti che stanno sopra la retta ( retta esclusa perché la disequazione è forte, quindi tratteggiata) e che appartengono alla circonferenza trigonometrica.

Si tratta quindi di vedere le coordinate dei due punti A e B di figura.

{x^2 + y^2 = 1

{x + 4·y + 1 = 0

risolvo ed ottengo: x = -1 ∧ y = 0  e  x = 15/17 ∧ y = - 8/17

da cui: A(-1,0) e B(15/17,-8/17)

corrispondentemente dai due valori angolari definiti dai due sistemi seguenti:

{COS(α) = -1

{SIN(α) = 0

soluzione: α = pi

{COS(α) = 15/17

{SIN(α) = - 8/17

α = - 2·ATAN(1/4)------->α = -0.4899573262 in radianti

in gradi sessadecimali: - 0.4899573262/pi = α/180----->α = -28°.07248693

Quindi la soluzione della disequazione proposta è

- 28°·0.07 < α < 180°

(puoi tenere conto anche della periodicità delle due funzioni aggiungendo agli estremi 2k*pi)

Non si possono risolvere in questo modo gli esercizi aggiungendo quando si vuole dei dati importanti.

Si è mi sono anche dimenticato di specificare che l'intervallo considerato e [ 0; pigreco] 

E' chiaro che la soluzione in questo caso sia 0 ≤ α < 180°

Quindi i risultati corretti sono:

2senx è sempre non negativo in [0,pi], cosx /2 è non positivo in [pi/2,pi] e non supera mai in modulo 1/2!

per x = pi    è:

cospi/2 + 2senpi +1/2 = -1/2 + 2*0 + 1/2 = 0

... quindi pi va escluso cioè intervallo aperto a dx [0,pi).

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riguardo alla prima fig.w1, che però esula dalla richiesta:

cosx + 4senx + 1 > 0 

il trinomio a primo membro si annulla quando ...

cosx + 4senx + 1 = 0 --->divido per (1+ cosx) {abbiamo già verificato per (1+ cosx) =0 ---> cosx=-1  ;   x = pi} --->  (1+ cosx)/(1+ cosx) + 4senx/(1+ cosx) = 0 ---> 1+ 4tan(x/2)= 0

tan(x/2) = -1/4 ---> x = 2arctan(-1/4) = ~ -28,0724869...°

... ora escludiamo il 2° quadrante già esaminato, resta il quarto dove x vale 2arctan(-1/4) = -0,48995732...rad

per valori di x minori  di 2arctan(-1/4) il trinomio è < 0 {quindi anche nel terzo quadrante} e per valori di x maggiori soddisfa alla disequazione data .

.................

p.s. ho utilizzato la nota:

senx/(1+ cosx)= tan(x/2)

* "(cos) /2 + 2sinx +1/2 >0" & "l'intervallo considerato e [ 0; pigreco]" ≡
≡ (cos(x)/2 + 2*sin(x) + 1/2 > 0) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (cos(x) + 4*sin(x) > - 1) & (0 <= x <= π) ≡
≡ ((√17)*sin(x + arctg(1/4)) > - 1) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (sin(x + arctg(1/4)) > - 1/√17) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (arcsin(sin(x + arctg(1/4))) > arcsin(- 1/√17)) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (x + arctg(1/4) > - arcsin(1/√17)) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (x > - arcsin(1/√17) - arctg(1/4)) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (x > ~ - 0.489957) & (0 <= x <= π) ≡
≡ 0 <= x < π
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VERIFICA
Con
* (cos(x)/2 + 2*sin(x) + 1/2 > 0) & (0 <= x <= π) ≡
≡ (cos(x)/2 > - 2*sin(x) - 1/2) & (0 <= x <= π)
vedi il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28cos%28x%29%2F2%3E-2*sin%28x%29-1%2F2%29%26%280%3C%3Dx%3C%3D%CF%80%29