[Risolto] ESERCIZIO DI GEOMETRIA SULLA SIMILITUDINE

Puoi provare a rifare il tuo disegno spostando il punto P, in modo che la proiezione non coincida proprio con O.

Considera il triangolo APB. Essendo AP e PB segmenti di tangente, essi sono congruenti e dunque APB è isoscele sulla base AB. In particolare sono congruenti gli angoli $PAB=PBA$.

Sappiamo inoltre dai teoremi sulle tangenti condotte da un punto esterno, che il segmento PO è bisettrice dell'angolo P e dunque anche altezza essendo APB isoscele. I triangoli APE e PEB sono dunque rettangoli e congruenti. 

Notiamo inoltre che, essendo le rette PA e BD parallele (sono entrambe perpendicolari per costruzione al diametro AC) gli angoli $PAB=ABD$ sono congruenti perché alterni interni rispetto alla trasversale AB.

Possiamo dire che l'angolo $APE=90-PAE$ (considerando la somma degli angoli interni del triangolo rettangolo PAE) e che $BAD=90-ABD=90-PAE$ (per la somma sul triangolo rettangolo ABD).

Allora per transitività gli angoli $APE=BAD$ sono congruenti.

Considerando che inoltre $PAO=ADB=90$, risulta che i triangoli PAO e ABD hanno tutti gli angoli congruenti e dunque sono simili.

In particolare allora vale la proporzione:

$ AD:AP = BD:AO$

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Nota ora che il triangolo ABC è rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza. 

Applicando il secondo teorema di Euclide abbiamo che:

$AD : BD = BD : DC$

che possiamo riscrivere sotto forma di uguaglianza come:

$ AD*DC = BD^2$

D'altra parte per la proporzione che abbiamo scritto prima nel punto (a) possiamo dire che:

$ AD:AP = BD:AO$

$ BD = \frac{AD*AO}{AP}$

Sostituendo questa espressione di BD nella precedente abbiamo:

$ AD*DC = BD^2$

$AD*DC =  \frac{AD^2*AO^2}{AP^2}$

Semplificando il termine $AD$ che compare in ambo i membri:

$DC =  \frac{AD*AO^2}{AP^2}$

e riscrivendola sotto forma di proporzione:

$ DC : AO^2 = AD : AP^2$

Passando alle radici:

$ \sqrt{DC} : AO = \sqrt{AD} : AP$

Noemi