Due circonferenze congruenti, di centri O e O', si intersecano nei punti A e B. Traccia per il punto A una secante che interseca ulteriormente le circonferenze in P e Q. Dimostra che il triangolo PBQ è isoscele. Come devono essere le due circonferenze perchè il triangolo PBQ sia equilatero?
Ho fatto il seguente disegno, ma non so come procedere
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Livello 1
Il triangolo PBQ è isoscele in quanto gli angoli in P ed in Q sono congruenti perché angoli alla circonferenza sottesi ad archi congruenti. Infatti le circonferenze sono congruenti per ipotesi, la corda AB è comune alle due circonferenze: a corde congruenti corrispondono archi congruenti.
Ultimo punto: una circonferenza congruente all'altra, deve passare per in centro dell'altra:
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Genius II
@lucianop grazie. Io ho pensato a questa dimostrazione. Considero OO' e AB, poichè OO' è ortogonale ad AB e AO=OB=AO'=O'B, il quadrilatero AOBO' è un rombo e quindi un parallelogramma, pertanto l'angolo AOB è congruente all'angolo AO'B e poichè l'angolo AOB è il doppio dell'angolo alla circonferenza APB e l'angolo AO'B è il doppio dell'angolo alla circonferenza AQB, essendo gli angoli AOB e AO'B congruenti, risultano congruenti i rispettivi angoli alla circonferenza APB e AQB, quindi il triangolo PBQ è isoscele. Per quanto riguarda il secondo punto che si può dire sulle due circonferenze affinchè il triangolo sia equilatero?
@lucianop forse ho trovato la risposta, ovvero che le due circonferenze devono essere tali che una circonferenza passa per il centro dell'altra circonferenza, però non mi è ancora venuto in mente come dismostrarlo
E' esattamente quello che ti ho scritto nell'ultima riga. Ciao
Osserva il rombo fra le due circonferenze: per ognuna di esse hai un angolo al centro di 120°.
Quindi angolo alla circonferenza di 60°
@lucianop quando ho visualizzato e ti ho risposto non c'era la seconda parte che mi hai scritto
